第01讲自主招生数学试题的特点.docVIP

第01讲:自主招生数学试题的特点 1 第01讲:自主招生数学试题的特点 杨老师专论 （电话号码：2078159；手机号码 自从2006年全国重点院校高考改革试点“破冰”以来,各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台.全国自主招生学校数目不断增加,而且各校自主招生规模比例也在增加,自主招生己不是少数人参加的“特技”考试,早在2008年上海交大、复旦大学通过自主招生录取的人数就首次超过高考录取的人数,而是广大考生进入重点高等学校的重要途径. 数学在自主招生考试中处于龙头的位置,占领数学,就能取胜于自主招生考试.但由于自主招生考试没有考试大纲,且各校命题都充分利用其“自主性”,使得自主招生考试的数学试题,呈现出范围的不确定性,难度度量的不统一性,题型的多样性,有别于高考和竞赛等的基本特性.所有这些都使考生不知如何准备？老师无法进行总结辅导. 通过对近年来各校自主招生考试数学试题,可以发现自主招生考试数学试题有如下特点: 1.基础的深入性:基础知识、基本技能称之为“双基”大家知道能力与“双基”有着辩证关系没有扎实的“双基”能力培养就成了无源之水无本之木所以“双基”是+=1的实根的个数. [解析]: [练习1]: 1.(2005年上海交通大学保送生考试试题)已知=-,x,y∈R,则(x,y)= . 2.(2005年复旦大学基地班数学试题)在实数范围内求方程+=3的实数根. [例2]:(2011年“北约”自主招生数学试题)是否存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？ [解析]: [练习2]: 1.(2007年北京大学自主招生数学试题)解方程组. 2.(2000年上海交通大学保送生数学试题)设3次多项式f(x)满足f(x+2)=-f(-x),f(0)=1,f(3)=4,试求f(x),求证:sinααtanα. [解析]: [练习3]: 1.(1979年全国高考试题)叙述并证明勾股定理. 2.(2010年四川高考试题)(Ⅰ)证明两角和的余弦公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; (Ⅱ)由C(α+β):推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 2 第01讲:自主招生数学试题的特点 2.方法的灵活性:方法是数学的灵魂,各类考试的中心是突出对思想方法的考察.自主招生考试则对思想方法的考察有更高层次的要求,更突显方法的深刻性. [例4]:(2007年交大冬令营设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a试证明对任意实数a方程f(x)=0总有相同实根存在x0恒有f(x0)≠0f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a.证明总有f()=0; (Ⅱ)总有f()≠0. 2.(2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题)设设数列{an}满足关系若N满足试证明(k为整数.求证:a1+ a2+…+an. 2.(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克问题高214)设正数列{an}满足:a1=,a2=,且8an+14+4an+an-1=3(n≥2).求数列{an}的通项an. 3.知识的广泛性:知识是数学的载体,是各类考试命题的基础,因此,如高考、全国联赛等均有限定知识范围及掌握程度的考试大纲.但自主招生考试因其“自主性”的特点,没有也不可能有考试大纲.自主招生考试包含并超出高考大纲,知识要求更加广泛,掌握程度有更高要求,但有别于联赛大纲. [例7]:(2008年清华大学自主招生数学试题)设a,b,c都为有理数,++也为有理数,证明:,,均为有理数. 第01讲:自主招生数学试题的特点 3 [解析]: [练习7]: 1.①(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明是一个无理数. ②(2009年北京大学自主招生数学试题)是否存在实数,cotx+均为有理数？++为一整数. [例8]:(2001年上海交通大学联读班数学试题)若(a+1)(b+1)=2,则arctana+arctanb= . [解析]: [练习8]: 1.(2001年复旦大学基地班数学试题)与正实轴夹角为arcsin(sin3)的直线的斜率记为k,则arctank= (结果用数值表示). 2.(2004年复旦大学保送生考试数