石墨烯电子的能带和狄拉克方程(二).docVIP

石墨烯电子狄拉克方程之数理演绎 （2015年5月1日） 作者： 北京东之星应用物理研究所 伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师） 1. 量子场论中狄拉克方程的引出 非相对论量子力学中，的自由粒子运动状态由薛定谔方程描述（自然单位）：从能量-动量色散关系，对应算符变换： 容易导出自由粒子薛定谔波动方程： 当，粒子服从相对论量子力学能量-动量色散关系 由上算符对应关系可建立场相对论 （2） 或 其中， 狄拉克凭借理论直觉，对（2）两端做形式开方，以维持算符线性化（对t二次微商会导致负几率困难）得到： , （3）这就是自由粒子的狄拉克方程（）。态函数是函数空间和4维自旋空间的直积空间中的矢量，比例参量，的形式和性质如是： , ，其中为2X2单位矩阵，三个泡利矩阵 ， ， （4） ,, 引入： 可将狄拉克方程（3）写成四维形式： （5）这里，) ; () 方程左端有 与哈密顿算符对易，故有共同本征函数，设狄拉克方程（3）的自由电子平面波解形式为，（6），， ， （6） ,称为旋量，称为双旋量，亦是动量本征方程 的解。将（6）代入（3），得到定态狄拉克方程： （7）的 （8） （7），，由此知对应同一个动量值，狄拉克电子的本征能量应有正，负两个取值。接着，求解本征矢。同时也与螺旋度算符对易（文献1），2）中也有证明），螺旋度算符定义为自旋在动量方向上的投影，由此便可定出，，所以,,的共同本征态，由三算符可确定高度简并的的具体形式。 这里，的本征方程是：，将定义中因子1/2去掉，不影响方程表达，螺旋度算符本征值 （9），满足相同的本征方程，二者只相差一常数。先定出。 （9a）的单位方向矢量, , （） （）： 解得 写成对称形式 (右旋态）， （） (左旋态）， （），哈密顿本征方程（7），以确定的，。（8）和（10） ， 哈密顿本征方程（7）变形如是： 便得到等价方程(12)： (12) 展开矩阵，解联立方程（13），得出,,的共同本征态：，=，， 根据(11a), ， 代入方程（13，[3]）得： 代入方程（13，[4]）得： 于是狄拉克方程（3）的平面波解并的,的共同本征矢，四分量旋量波函数如是： （），=，，； 根据(11b),，,, 与方法于是狄拉克方程（3）平面波解并的,的共同本征矢量如是： （），=，， 根据(11a), ， 原方程（12）可变形为： 同法解得： 利用，即，改写为， 于是狄拉克方程（3）平面波解并的,的共同本征矢量如是： （），=，，； 根据(11b),，,, 与方法解出狄拉克方程（3）平面波解并的,的共同本征矢量如是： （）可定出归一化因子 至此，自由粒子狄拉克方程四分量旋量波函数完全确定。狄拉克方程（7）的一般解则是这四种基矢量的线性叠加。 2. 石墨烯狄拉克方程的建立 在参考文献5），即本篇文档的第（一）篇， （）在狄拉克点（亦称费米点）附近展开，令，，代入表达式（18）：这里，是相对狄拉克点的动量，； 打开三角函数，化简，，或写为（）点（），是能带零点。见图2或文献5）作级数展开应得到： 对比（19）可知。是电子的费米速度。这就是狄拉克点附近石墨烯电子能量与动量的线性色散关系。分别对应，和能带。联系哈密顿量的本征方程的本征值表达式（19），可由久期方程导出：，于是得到矩阵： （），，因而石墨烯电子哈密顿方程是 （）时的2