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通过例2，请举例说明求三角函数值域的常用思想及方法？ 求函数值域时的注意事项 例：设实数满足,则的最大值是（） （A） （B） （C） （D） 常见简单函数求值域的方法： 最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一.函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起. 函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的. 本小节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用. 1.基本初等函数在特定区间上的最值（或值域）问题. 解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值（或值域）. 2.一些简单的复合函数的最值问题.解决这类问题的方法通常有： （1）通过作出函数图象变成第1类问题； （2）通过换元法转化成第1类问题； （3）利用平均值定理求最值； （4）通过对函数单调性进行讨论进而求出最值.其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识（导数的方法在后面相应章节复习）. （5）转化成几何问题来求解. 例1：求下列函数在给定区间上的值域. （1），； （2），； （3），. 分析：分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围. （1） 　　　　 （2） 　 （3） 根据上面的简图，观察得出： （1）函数的值域为； （2）函数的值域为； （3）函数的值域为. 例2：求下列函数的最值. （1）求函数的最大最小值； （2）求函数的最大最小值； （3）求函数的最大最小值； （4）求函数的最小值； （5）求函数的最小值. 略解：（1）利用图象变换的知识作出函数的图象（如右图）， 观察在区间上函数值的取值情况， 得函数的最大值为4，最小值为1. （2）设，因为，所以， 于是，原函数最大最小值问题转化为求函数的最大最小值问题. 用例1作图观察的方法，可得最大值为，最小值为. （3）解可得，即函数的定义域为. 设，则， 由，，可得， 由，，可得. 所以，函数的最大值为，最小值为. （4）解可得，即函数的定义域为. 设，则， 由，，可得， 由，，可得. 所以，函数的最小值为. （5）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，函数的最小值为. （备用试题）例3：求函数的最大、最小值. 分析：设，则， . 因为，， 所以，只需分析的符号. 观察上式可知，只有当时，才能保证当在区间内任意取值时；同时，只有当时，才能保证当在区间内任意取值时. 所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数. 所以，函数的最小值为. 又，，所以函数的最大值为. 综上，函数的最大、最小值分别为. 另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数的最大、最小值. 由已知，，解得或， 注意到定义域为，可得 的单调递增区间为，单调递减区间为.之后的解法同上. 请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具体应用. 最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例1； 利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例2（1）； “换元法”求值域无非是通过换元，将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值域问题，如例2（2）、（3）、（4）； 例3通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实质性方法.前面用到的其他方法无非是我们知道函数的图象，可以观察函数的单调性，不需要自己讨论而已. 例2（5）利用均值定理求函数的最值，可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题.如（其中同号）；常数，求的最值；常数，求的最值，等等. 用均值定理求最值要注意条件：“正”“定”“等”.如利用求最小值应满足：①；②或为定值；③可以成立.三个条件缺一不可. 例4：下列函数中值域为的是（ ） （A） （B） （C） （D） 解：根据幂函数的图象，的值域为； 根据均值定理，的值域为； 的值域为； 因为，所以值域为.选D. 例5：函数在上的最大值与最小值之差为，则的值为 . 解：当时，函数在上是增函数，依题意，所以. 当时，函数在上是减函数，依题意，所以. 综上，的值为或. 例6：已知（其中），且在区间上恒成立，求实数的取值范围. 解：因为在上恒成立. 所以在上恒成立, 因为，所以在上恒成立. 所以　　　（注：因为应小于在上的最小值．） 即,结合,得. 所以的取值范围是. 例7：定义：如果对于函数定义域内的任意,都有（为常数），那么称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界.现给出下列函数： ①； ② ③ ④ 其中有下确界的函数是___________. 略解：①因为函数的值域为，即，所以下界的集合为，