微分差分方程习题.docVIP

微分方程和差分方程作业题参考答案 一、微分方程初值问题 （1）用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]． （2）用 ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异． 解 （1）代码 clear f=sym(y-exp(x)*cos(x)); a=0; b=3; h=0.1; n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,{x,y},{x,y}); l2=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f,{x,y},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end plot(szj(:,1),szj(:,2), dg-); （2）代码 fun=inline(y-exp(x)*cos(x),x,y); [x,y]=ode45(fun,[0,3],1) 两个图放在一起比较如下： 结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。 二、设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 解： 分析和建模 设t时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为x(t),考虑时间区间，并利用质量守恒定律；内容器中净盐量的变化等于注入清水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量。 用数学公式表示出来就是： 于是，令，得: 得到解为： 这就是t时刻容器中净盐的百分比。因为V=100升，K=2升/分钟，当t=0时，=0.1，因此c=100000 得到： 一小时(t=60)后容器中的盐水中含有的净盐为： (100+60)*x(60)=10^5*(100+60)^(-2)= 3.90625千克 所以1小时后容器里的盐水中还含有3.90625千克净盐。 三. 早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ∈(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式. (3) 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 解：（1） V= *c(其中c为常数) 当t=0时V=V0 V= *V0 当V=2 V0时 σ =ln2/λ （2）V=1/6*π*D3 σ =ln2/λ 因为当t=0时D=D0 （3）假设，不考虑每次放射性射线杀死的免疫细胞从而影响人体免疫系统功能的前提下，有一位癌症病人的癌细胞的直径为1cm，此癌症病人的体内含有的癌细胞的含量为106个，现在医院要对病人进行治疗，打算用17/2σ天使癌症病人的体内的癌细胞数目从原来的106个减少到体内免疫细胞可杀死的水平，每两次放射性治疗的时间间隔为1/2σ。决定用9次级放射性治疗来使病人的癌细胞得到控制，为达到此目的每次治疗要用射线治疗的射线强度为杀死癌细胞的x所需的射线量。 根据假设条件，编写matlab程序 clear; clc; for x=1:900000 k=1000000-x; for i=1:9 k=sqrt(2)*k-x; end if k=100000 break end end x x = 301006 得出结论，病人每隔1/2σ天进行一次放射性治疗，每一次进行放射性治疗所用的射线量时杀死301006个癌细胞的射线