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陕西师大远程教育学院数学本科函授生作业《常微分方程》一、求解下列方程1． 2．。 3．。 4． 5． 6． 7.. 8. 9．. 10．. 11.. 12．. 13. . 14. . 15. 16. .二、解下列线性方程 1．2．求方程的通解 3． 4．5. . 6．. 三、解下列方程组1． 2． 3． 4． 5. . 6. 四.应用题 1．求一条曲线，要求曲线上各点处的切线与切点到原点的向径以及轴围成一个等腰三角形（三角形的底在上），并且通过点. 2．求一条曲线，要求曲线上各点处的切线与切点到原点的向径以及轴围成一个等腰三角形（三角形的底在轴上），并且通过点. 3．求一条曲线，使其上每一点出的切线在轴上的截距等于该点的横坐标五、解答与证明题 1．设是非齐次线形方程 的个线性无 关解, 试证: 该方程组的任何一个解都可以由线性表示. 2．设是非齐次方程组的个线性无 关解，试证：若， 其中是常数，且.则也是非齐次方程组的解. 3．设是方程的一个解，试求其通解.4. 求初值问题的第二次近似解. 5．设在上连续可微，且有. 求证：. 6．设函数在上连续，且，又. 试证明：方程，所有解, 均有.陕西师大远程教育学院数学本科函授生作业《微分几何》一．填空题1．设向量，则．2．已知，则的单位向量=．3．曲线的形状完全由 决定．4． 曲线：在处的密切平面方程是 ．5．曲线在一点的挠率的绝对值的几何意义是6． 设曲线：,是弧长参数,则=7．曲面：上线的微分方程是8．在可展曲面上每一点,两个主曲率的乘积9．平面的第一基本形式是10．曲面上参数曲线网是曲率线网的充要条件是11．设曲线C =(s)，则（，，+）=12．曲线是直线的充要条件是13．若,则14．若以为相邻棱的平行六面体的体积为6, 则以为相邻棱的四面体的体积是15．曲线在一点沿着方向的旋转速度取决于曲线在该点的．15．设：在球心是坐标原点的球面上,则=17．曲面的内在量是指18．若曲面在一点处的两个主曲率异号，则该点是曲面上的点20． 曲线C:在任意一点的付法线方程是21．设曲线C:的三个基本单位向量为α，β，γ，则γ（βα）=22．空间曲线论基本公式是23．曲面在一点的法曲率的最大值和最小值正好是该点的曲率24．在曲面上的脐点, 第一、二类基本量满足的关系式是25．平面上的渐近线是26．向量函数=(t)平行于固定平面的充要条件是27．设曲线C：,则C在s = s处的从切面线方程是28． 曲线的曲率的几何意义是29． 在曲面S：=上一点, 由，决定的平面叫做曲面在该点的30．设=｛1，0， 0｝， =｛0，2，0｝，=｛0，0，6｝，则（，，2）=31．若曲线在一点的挠率τ＞0, 则曲线在该点是旋的32．曲面S与S等距等价的充要条件是33．若曲面在一点的Dupin 标线方程是，则该点的高斯曲率34．平面上的曲率线是．35．半径为的圆的曲率是36．设，，是曲线C：=(s)的三个基本单位向量，则=38．曲面的参数曲线网是共轭网的充要条件是39．曲线在处的密切平面的方程是40．曲面：在点处的切平面的方程是 ．41．半径为2的球面上的大圆的曲率是．42．平面的第二基本形式是．43．在半径为的球面上,曲率线是．44．写出曲面为可展曲面的三个充要条件二．计算题1．求曲线 上从到这一段弧长．2．求曲线上在处的切线方程．3．求曲线在处的密切平面方程．4．求曲线在的曲率和挠率．5．求球面的面积．6．求曲面在处的切平面方程．7．求平面族的包络面．8．求正螺面的高斯曲率．9．求曲面在原点处的高斯曲率．10．求圆环面上的椭圆点，双曲点和抛物点．11．已知均不为零,判定曲面是否可展．12．求曲面：上的曲率线．13．求曲面上的曲率线．11．求曲面：上的渐近线．13．已知曲线C：=（是弧长参数）的曲率和挠率分别是和，求曲线：=的曲率．15．讨论曲面是否可展．18．把曲面方程写成直纹面方程的形式,并讨论它是否是可展的20．考察曲面是否可展．三．证明题1．证明:曲线是直线的充要条件是每一点的曲率为零．2．证明:曲面是平面的充要条件是3．证明:如果曲面上一条曲线既是渐近线,又是测地线,则它一定是直线．4．证明:若一条曲线的法平面始终与一个非零常向量平行,则该曲线是直线或者平面曲线．5．证明曲面上任意一点的切平面和三个坐标平面构成的四面体的体积是常数6．证明: 双曲抛物面不是可展曲面7．证明:挠曲线的主法线曲面不可展8．证明：曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程9．证明:如果一条曲线的所有切线都经过一个固定点, 则该曲线是直线．10．证明：曲面: 在每一点的切平面都通过坐标原点11．试证:如果曲线的所有密切面都经过一个固