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多元微分学练习北理答案 一、填空题 1. 函数的定义域为 。 2. = 。 0提示：无穷小与有界函数之积 3. = 。2 提示：分母有理化或等价代换 4. = 。0 5． = （存在与否）。不存在， 沿不同的路径趋向于原点，如分别取，极限等于不同的值。 6. ,则= ， = 。 ， 7．，则= ， = 。 答案：， 8．设，则= 。 答案： 因，所以.故. 9．向量，则数量积= ，向量积= 。则 6 ， 10．设，而，，则 。 答案：． 11．设曲面，则在点处的切平面方程为 ；法线方程为 。 答案：切平面方程，　法线方程 12．二元函数在点处的两个偏导数，存在是在该点可微的 条件; ，连续是在该点可微的 条件。 必要 充分 13．设，则 。 二、计算题 1．设，而，，求全导数. ，复合后的函数是关于的一元函数.从而 偏导数就是导数.复合结构关系如图6.12.因为 . ， 所以. 2．设，求，；　 答案：， 3．设，求，，． 简解：两端对求导，， 同理， ，因此 4．设求. 解 此函数是乘积形式，应先按乘积的导数法则进行. . 这里略写了中间变量.事实上，，. 5．，求就要把看成的函数.令，则 . 所以 6．求曲线，在处的切线与法平面方程． 答案：用参数方程表示空间曲线，即将视为的函数，则切线方程： ，法平面方程： 7．求出曲线，，上的点，使在该点的切线平行于平面． 简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ，已知平面的法向量为. 由题意得 ，即 ，解得或，故所求的点为 ， 或 8. 求与两个平面和的交线平行且过点1，2，3）的直线方程 。 解： 所求直线的方向向量 5分 故所求直线的方程为 9.问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值． 提示： ，, ，所以是方向导数取最大值的方向， 此方向导数的最大值为． 三、综合题 1．讨论函数的连续性，并讨论在原点偏导数的存在性． 提示：选取直线， 则 随着的变化而不同，即不存在，函数在除外任一点都连续. 注意到，， 同理；故函数在原点两个偏导数都存在。 2．将正数12分成三个正数之和使得为最大.， 解方程组，由等，得唯一驻点 （6，4，2）.由题意可知，一定有最大值.故最大值为. 3．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省． 简解：设水池的长宽高分别为，令 , 关于求偏导，得到，求得驻点为，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为 时，建筑材料最省. 4. 求第一卦限的函数在条件下的最值． 解:由条件得，代入 令，解得唯一驻点． 而， 对，，且A=40 知为最小值点．或为最小值点且最小值为． 4 图1