各种坐标系下拉普拉斯算符统一解法.docVIP

有不少问题，由于边界的形状，不宜采用直角坐标系，而应采用球坐标系或柱坐标系等正交曲线坐标系。 在许多数学物理方程中，都用到拉普拉斯算符。 采用正交曲线坐标系的时候，当然需要把拉普拉斯算符用正交曲线坐标表示出来。“正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符”在物理系高等数学教材中是有的。但为了方便读者这里还是给出简单论述。 1、拉普拉斯算符作用于标量函数 以表示正交曲线坐标，则直角坐标与正交曲线坐标具有下列关系： 若两点具有相同的和而相差微量，则两点间的距离为，这可改写为， （1） 同理，若两点具有相同的和而相差微量，则两点间的距离为， （2） 若两点具有相同的而相差微量，则两点间的距离为， （3） 叫做度规系数。 这样，标量函数的梯度在增长方向的分量为，从而、、 （4） 再看矢量函数。取一个微小六面体，它由六个曲面围成（图1）。这六个微小曲面不妨当作平面。由于曲线坐标是正交的，不妨把图示的微小六面体当作平行六面体。现在计算从这个六面体发出的通量（流量）。先考虑和两面，净发出的通量是。 图1 同理，通过和两面净发出的通量等于，通过和两面净发出的通量等于。 把三者相加，得到总的通量，再除以平行六面体的体积就是每单位体积发出的通量，即散度 （5） 拉普拉斯算符作用于标量函数不过是该标量函数的梯度的散度，所以， （6） 应用于柱坐标ρ、φ、z（参见图2，不妨形象地称之为“投影距离”、“方位角”和“高度”）。 图2a 图2b 很容易按（1）-（3）算出、、。 其实，这也可以从图3直接看出。于是，按照（4）-（6）得到，在柱坐标系中，、、。 图3 ， （7） 从柱坐标系取消z这个坐标就得到平面极坐标系。所以在平面极坐标系中， （8） 应用于球坐标r、θ、φ（参见图4，不妨形象地称为“距离”，“天顶角”和“方位角”）， 图4a 图4b 很容易按（1）-（3）算出。 其实，这也可以从图5直接看出。于是，按照（4）—（6）得到， 图5 在球坐标系中，。， （9） 2、拉普拉斯算符作用于矢量函数 拉普拉斯算符对矢量函数可利用矢量分析公式，即 （10） 而间接得出。但这里需要先写出旋度的表示式。 取一个微小四边形ABCD，它的法线沿增长方向。四边分别是、、、（图9）。这四个边不妨当作直线。现在计算矢量沿ABCD的环流量。沿AB段和CD段算得；沿BC段和DA段算得。把两者相加，得到沿回路ABCD的“环流”量，再除以四边形的面积就得到平面上每单位面积的环流量，即旋度的分量。同理，、 （11） 把（11）应用于柱坐标系，得、、 （12） 把（11）应用于球坐标系，得、、 （13）