一篇关于四元数的介绍.docVIP

为什么使用四元数为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向轴锁（Gimbal Lock）的问题。还有一种是轴角的描述方法（即我一直以为的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。但这种描述法却不适合插值。那到底什么是Gimbal Lock呢？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，这里有个例子演示了Gimbal Lock，点击这里下载。运行这个例子，使用左右箭头改变yaw为90°，此时不管是使用上下箭头还是Insert、Page Up键都无法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述同样有这样的问题。什么是四元数四元数一般定义如下：q=w+xi+yj+zk其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:i*i=-1j*j=-1k*k=-1也可以表示为：q=[w,v]其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。四元数也是可以归一化的，并且只有单位化的四元数才用来描述旋转（面向），四元数的单位化与Vector类似，首先||q|| = Norm(q)=sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)因为w2 + x2 + y2 + z2=1所以Normlize(q)=q/Norm(q)=q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)说了这么多，那么四元数与旋转到底有什么关系？我以前一直认为轴、角的描述就是四元数，如果是那样其与旋转的关系也不言而喻，但并不是这么简单，轴、角描述到四元数的转化：w = cos(theta/2)x = ax * sin(theta/2)y = ay * sin(theta/2)z = az * sin(theta/2)其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度，为什么是这样？和轴、角描述到底有什么不同？这是因为轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。关于四元数的运算法则和推导这里有篇详细的文章介绍，重要的是一点，类似与Matrix的四元数的乘法是不可交换的，四元数的乘法的意义也类似于Matrix的乘法－可以将两个旋转合并，例如：Q=Q1*Q2表示Q的是先做Q2的旋转，再做Q1的旋转的结果，而多个四元数的旋转也是可以合并的，根据四元数乘法的定义，可以算出两个四元数做一次乘法需要16次乘法和加法，而3x3的矩阵则需要27运算，所以当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。为什么四元数可以避免Gimbal Lock在欧拉描述中，之所以会产生Gimbal Lock是因为使用的三角度系统是依次、顺序变换的，如果在OGL中，代码可能这样：glRotatef( angleX, 1, 0, 0)glRotatef( angleY, 0, 1, 0)glRotatef( angleZ, 0, 0, 1)注意：以上代码是顺序执行，而使用的又是统一的世界坐标，这样当首先旋转了Y轴后，Z轴将不再是原来的Z轴，而可能变成X轴，这样针对Z的变化可能失效。而四元数描述的旋转代码可能是这样：TempQ = From Eula(x,y,z)FinalQ =CameraQ