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2013版高中数学全程学习方略配套课件:1.2.3三角形中的几何计算(人教A版必修5)
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【名师指津】运用三角形面积公式时的注意点:
(1)利用三角形面积公式解题时,常常要结合三角函数的有关公式;
(2)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定理、余弦定理,解题时要注意发现各元素之间的关系,灵活运用公式;
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.;【特别提醒】特别要注意三个内角的取值范围,以避免由三角函数求角时出现增根错误.;【例1】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积S.
【审题指导】(1)由三角形的内角和定理可知
再利用两角差的正弦公式解得;(2)△ABC的面积可由面积公式求得.;【规范解答】(1)∵ ∴A<B,
∴
由A+B+C=π,
(2)据正弦定理得;【变式训练】在△ABC中,BC=5,AC=4,
cos∠CAD= 且AD=BD,求△ABC的
面积.
【解题提示】由∠CAD的余弦,
我们想到在△CAD中利用余弦定理,求出CD的长,然后再利用正弦定理求出角C的正弦值,根据三角形面积公式求出即可.;【解析】设CD=x,则AD=BD=5-x,
在△CAD中,由余弦定理可知,
解得x=1.
∴CD=1,AD=BD=4.
在△CAD中,由正弦定理可知;即△ABC的面积为;【误区警示】在计算CD和sinC的值时,很容易出现计算错误.; 证明三角恒等式
【名师指津】证明三角恒等式需要注意的问题:
解决本类问题,既要用到三角形中特有的恒等变形公式,又要用到任意角三角函数的恒等变形公式,两者要结合,灵活运用.三角形边和角的相互转换公式,主要是正弦定理、余弦定理这两个定理,因此这类题型都可用不同的途径求解.
【特别提醒】证明三角恒等式一定要正确利用变形公式,不能随便臆造.;【例2】在△ABC中,求证:
【审题指导】从左边证右边,化角为边.
【规范解答】左边=
=
=右边,其中R为△ABC外接圆的半径.;【互动探究】上述证明方法是化角为边,若证明方法改为化边为角该怎么证明?
【证明】左边=; 三角形中的综合问题
【名师指津】解决三角形中的综合问题需要注意:
解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势,解决此类问题常以三角形为载体,以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查,因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题关键.
【特别提醒】利用正弦定理求角时,要注意角的取值范围;要正确利用三角函数的公式和性质.;【例3】在△ABC中, AC=3,sinC=2sinA,
(1)求AB的长;
(2)求sin(2A- )的值.
【审题指导】在△ABC中,运用正弦定理可直接求得AB的
长;再运用余弦定理求得cosA,进而求得sinA,sin2A,
cos2A,最后利用两角差的正弦公式求得;【规范解答】(1)在△ABC中,根据正弦定理,得
(2)在△ABC中,根据余弦定理,得
于是
从而
cos2A=cos2A-sin2A=;【变式训练】(2011·天津高考)在△ABC中,内角A,
B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,
(1)求cosA的值;
(2)求 的值.
【解题提示】运用余弦定理求得cosA,进而求得sinA,
sin2A,cos2A,最后利用两角和的余弦公式求得;【解析】(1)由B=C
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