倒向随机微分方程的理论、发展及其应用.pdfVIP

维普资讯 应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2002，15(2)：9-- 13 倒 向随机微分方程 的理论、发展及其应用 周少甫 ，黄志远 ，张子刚 (L华中科技大学经济学院，湖北 武汉 430074；2．华 中科技大学数学系，湖北 武汉 430074；3 华 中科技大学管理学院；湖北 武汉 430074) 摘要 ：本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用厦研究现状， 绍 了 作者博士论文的主要工作． 关键词：金融数学；倒向随机微分方程 {随机微分效用 ；正一倒 向随机微分方程 中图分类号 ：O211．63 AMSf2000)主题 分类：60H30 文献标识码 ：A 文章编号 2002)02—0009-06 ～ 般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于HarryMarkowitz[1]在 1952年的开创性工作 ，他为现代有价证券 的组合理论奠定 了基础 ，他的理论引发 了所谓的第 一 次 “华尔街革命”．许多学者进一步发展 了他的理论．下一步重要的发展是 l964年 Sharpe [2]和 1965年 Lintner[3]提出的资本资产定价模型(CAPM)及 1976年 Ross[4]把 CAPM模 型扩展成套利定价模型(APT)．1973年，FisherBlack和MyronSchole[5]发展了 “期权及公 司债务的定价”，提出了第一个完整的期权定价模型．同一年，RobertMerton[6]发表了 “计算 期权台理价格的理论”．这些里程碑式的成果，引发了第二次 “华尔街革命”，在理论和实践中都 有特别重要的意义．FisherBlack和MyronSchole的期权定价模型提出之后 ，金融数学以前所 未有 的的速度发展．许多现代的数学工具 ，如随机微积分[7，8，9]，鞅方法，凸分析[1O3，随机最 优控制，多元统计分析，数学规划 [1l，183，现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作 用．许多经济学家和数学家都为金融数学的发展作 出了贡献．他们中的佼佼者不少 已先后获得 了诺贝尔经济学奖 。金融数学的发展 ，也促进 了一类新的随机微分方程理论——倒 向随机微 分方程的出现 ，发展和逐步完善． 倒向随机微分方程理论研究的历史较短，但进展却很迅速 ，除了其理论本身所具有的有趣 数学性质之外，还发现了重要的应用前景．1973年，法国数学家Bismut[13]在研究随机最优控 制时，研究了线性 BSDE的适应解 。而一般形式的非线性倒向随机微分方程 ： {dXxX【(丁丁(t))=~：bXx(t，，0,X≤≤(t≤7：．．“，xw。 c 实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反 向问题，即终值问题 ，在金融理论中，递归效用 ，微分 一 收稿 日期 ：2001—12—05 基金项 目：国家 自然科学基金项 目 怍者简介：周少甫(1963-)．男，汉，华中科技大学管理学院博士后，副教授，研究方向 随机过程 维普资讯 l0 应 用 数 学 效用 ，期权定价等经济理论研究都需要考虑终值问题 ，但 由于终值变量 是 可测的，如果要 考虑具有 适应过程x()满足 (1)，且x(丁)一x，方程 (1)往往无解 ，为此众多学者作了不懈 努力．如利用样本广义解方法 ，如 Huang(1984)：10]把终值问题转化为韧值 问题求解 ；利用随 机流产生 代数，如 Kunita(1990)[15]．但其 代数流是倒 向的；增大 代敬流，如 Jeulin(1979)[16]，令 一 口( Ux)，但此时 Brown运动关于新的 代数流一般不再是 Brown运动，而是半鞅；利用Malliavin随机变分学，如Nualart，Pardoux[17~讨论非适应过程 的随机微分方程 ，但这仅在某些特殊情况下得到较满意的结果．1990年，我国学者彭实戈和法 国学者 E．Pardoux受控制问题的启发 ，在众多学者研究的基础上 ，发现 了下面形式的有