借助定积分证明不等式.pdfVIP

舅 纯 中学数学杂志 2015年第 11期 评注 此例 中，待证不等式 (※)等价于 … + ． n 1+十一2+了 +……+ l++Inn(n≥≥22))，， 3．(1999年加拿大数学奥林匹克题)设正整数 7／,≥ 把此等价不等式与欧拉当n一 ∞时的精细结论 2，证明： 1++一2++一3+．．。．。++ ：：llnn((nn++1))++c(c≈00．·5772) (1+了1+…+ ) f2 + 1 + … n 联系起来分析可顿悟到，这里只要架起桥梁 1 + ) ln ：1n(1+ )≤1n(1+ 1)0 ． 4055 l 4．(第 18届美国数学奥林匹克题)对于每个正整 — G，就可以领会到专家命题的奥妙! 数n，令s=+丢+÷+…+÷， 限于篇幅，提供下列问题供读者探究调和数列的 相关性质． ：Sl+S2+S3+ … +S ， 1．(2013年全 国高考大纲卷末尾题)已知数列 1 + ÷+1T+…+ ． {。)的通项n=l+÷+÷+…+1，证明： 试求正整数 a-,b、c、d10。，使得Tl998=aS1989一b、 1 U1998 cS1989一d． Ⅱ： 一 。 + ln2． 作者简介 甘大旺，1988～1993连续6届担任高三数学 2．(2007年全国联赛题改编题)设正整数n≥2，证 课 ，1999～2009连续 11年主审 《中学数学》新题征展栏 目， 明： 1 (1+ 1+ 1 1 ) (1+ 1+ 2013—2015连续3年兼任 《高中数理化》第5-6期高考综合 … + + 1 复习合刊的数学编审． 借助定积分证明不等式 诸城市繁华中学 262200 赵 曜 定积分及微积分基本定理由于各地高考考纲中对 取 ：一1 ∈(o，1)， ∈N+， 有 In( )： 考生的要求较低 ，其在高考中的相关题 目大多为基础 题型．然而这并不意味着这方面的知识不需要多加练 lnn—In(n-1)，1+了1+…+i1ln2-In1+In3一 习并熟练运用，因为在高考题尤其是压轴题 的不等式 证明中，联系定积分及其几何意义往往会有出奇制胜 ln2十 ···+Inn—in(n一1)=Inn． 的神奇效果． 分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和 先来看一道例题． 式中每一项都是函数-厂