数列求和的几种方法、数列的实际应用问题.doc

数列求和的几种方法、数列的实际应用问题 一. 教学难点： 数列的实际应用问题 二. 课标要求： 1. 探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题． 三. 命题走向： 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目． 有关命题趋势： 1. 数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2. 数列推理题将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考查学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4. 有关数列的应用问题也一直备受关注． 【教学过程】 一、基本知识回顾 1. 数列求通项与和 （1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝ ． （2）求通项常用方法 ①作新数列法．作等差数列与等比数列． ②累差叠加法．最基本的形式是：an＝（an－an－1）＋（an－1＋an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1． ③归纳、猜想法． （3）数列前n项和 ①重要公式：等差和等比数列的求和公式 1＋2＋…＋n＝n（n＋1）； 12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）； 13＋23＋…＋n3＝（1＋2＋…＋n）2＝n2（n＋1）2； ②裂项相消法 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an＝f（n＋1）－f（n），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、＝－等． ③错位相减法（可用于推导等比数列前n项和公式） 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法．， 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，… ④分组转化求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn． ⑤倒序相加法（可用于推导等差数列前n项和公式） 2. 递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系an＋k＝f（an＋k－1，an＋k－2，…，an）称为数列的递归关系．由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由an＋1＝2an＋1，及a1＝1，确定的数列即为递归数列． 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想． （2）迭代法． （3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数． （4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题． 【典型例题】 例1. 已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：． 解：首先考虑，则＝． 点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法． 例2. 求． 解：， 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些． 例3. 设，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得的值为____________ 解：课本中推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法.因为 所以 原式＝6＝ 点评：本题曾为上海高考题，主要考查考生对课本的熟练程度和倒序相加法的应用，其中有函数式子的变化，计算能力的考查． 例4. 已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和． 解：， ①－②得：， 点评：设数列是等比数列，数列是等差数列，则对数列的前项和进行求解，均可用错位相减． 例5. 数列…的前多少项和为最大？ 解：是以为首项，以为公差的等差数列， 对称轴比较起来更靠近对称轴 ∴前项和为最大 另法：由，得 点评：求和的最值关键在于找分界点. 例6. 求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和． 解：其和为（1＋3＋…＋3n）＋（＋…＋）＝＝（3n＋1－3－n）． 点评：分组转化法求和. 例7. （2006年浙江卷20）已知函数＝x3＋x2，数列{xn}． （xn ＞ 0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）． 求证：当n时：（I）； （II）． 解：（I）因为 所以曲线在处的切线斜率 因为过和两点的直线斜率是 所以. （II）因为函数当时单调递增， 而 所以，即 因此 又因为 令则 因为所以 因此 故 点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系． 例8. （2005上海高考20.）假设某市2004年新建住房