数字信号处理 第三版第2章_4.ppt

2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω) 设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式 2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|≤∞， 0r1 例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。 (1)收敛域a-1|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(2.6.2)式因式分解，得到 在z平面上，ejω-cr用一根由零点cr指向单位圆上ejω点B的向量 表示，同样ejω-dr用内极点指向ejω点B的向量 表示，如图2.6.2所示。 系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式(2.6.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。 2.6.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性 |H(e jω)|=1,相位特性φ(ω)=-ω，频响如图2.6.3所示。 用几何方法也容易确定，当ω=0转到ω=2π时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。 2.6.3 设一阶系统的差分方程为 y(n)=by(n-1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。 解：由系统差分方程得到系统函数为 系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时旋转时，在ω=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在ω=π时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。 2.6.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。 解： H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定 N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当ω从零变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般将具有如图2.6.