抛物线焦点弦性质2.ppt

例1：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 例2：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程. 例6、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 * * F M 一、抛物线的几何性质： 焦点弦的长度 焦半径 顶点 对称性 范围 图 形 方程 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） l F A x y B B1 p p1 A1 二、抛物线的焦点弦： l F A x y B B1 p p1 A1 通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值 三、 练习.点A的坐标为(3，1)若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 ⒈过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点．若 ，则|AB|= ___________ ⒉过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则此弦长 为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜 角为 _________． ⒊过抛物线 的对称轴上有一点M (p, 0)， 作一条直线与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为 ，则B点纵坐标为 ________ 8 24 4p 课堂练习 例3：求抛物线 上的点到直线4x+3y+46=0的距离的 最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标. 1.已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线 的倾斜角是______ 例3：求抛物线 上的点到直线4x+3y+46=0的距离的 最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标. x y O F A B D 例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。 因为x轴垂直于AB，且 ， 解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0, y x o A B (x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X10，X20，2p0, X1=X2. 所以 (x1,y1) (x2,y2) 例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点的纵坐标的最小值。 . x o y F A B M C N D 解： 例6、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？ x O y F A B 这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动. x y B A F O x y B A F O “直线与抛物线相切” 是“直线与抛物线只有一个交点” 的什么条件？ 思考题： 过点A(0，5)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有几条？ 直线与抛物线位置关系 x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点） * 思考题: 3、是抛物线上的两点,满足(为坐标原点). 求证:⑴两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; ⑵直线经过一个定点. 思考题: 1.AB是抛物线x=y2的一条焦点弦，且｜AB｜=4，则A