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44 数学通报 2014年 第 53卷 第 11期 高中数学中与曲率有关问题的研究 张福俭 张慧玲 (江苏省扬州 中学 225001) 苏教版选修 2—1习题 2．6(3)第 10题 ：一只 为△a，则是一 』f叫做曲线AB在M点的 酒杯的轴 截 面是抛 物线 的一 部分 ，它 的方 程 是 -，，一2y(o≤ ≤20)．在杯 内放人一个玻璃球 。要 曲率． 使球触及酒杯底部 ，那么玻璃球 的半径 r应满足 性质 圆的曲率等于其半径的倒数． 什么条件?李洪洋在文[1]中给出一种常规解法 ： 证明 设 圆的半径 为 设抛物线 卜任意一点为 (，)，它到点 (0，r)的距 ，-，弧 MN 的长度为 △s，由 离为 M 点切线 转到 N 点切线 所 成 的 角 为 △a，由 于 d一~／r+ (y—r) MON一△a，As—rAa，故 一 V2y+(—r) k—limll一 一 L 一 (F--1)]十2r一】， 由题意知 ，抛物线顶 点 (0，0)是抛物线 上到 这说明，圆上任一点处的曲率都相等 ，且等于 (0，r)距离最近 的点 ，从 而 r—l≤0，即 r≤ 1．又 半径的倒数． ro，所 以 0r≤1．故要使玻璃球触及酒杯底 定义 在 曲线 AB上点M 处法线上 ，在 凹的 部 ，玻璃球的半径 r的取值范围是 O，一≤1． 一 侧取一点为圆心，过点 M 作一个圆，使得这个 这道题高中老师都用初等数学方法解决，而 圆的曲率与曲线在点 M 的曲率相 同，则这个圆叫 它的本质却是与曲率有关的问题 ，曲率虽是微分 做曲线在点M 处 的曲率 圆，又叫密切圆，密切 圆 几何 的内容 ，但高中数学包括 了导数内容 ，高中学 的圆心叫做曲线在点M 处 的曲率中心，密切圆的 生能理解 曲率的初步知识 ，高 中数学老师更应该 半径 r叫做 曲线在点M 处的曲率半径． 掌握它 ，以便教学时居高临下 ，讲深讲透与其有关 性质 因为圆 的曲 的问题．高中数学内容 中有很多与曲率有关的问 1 率 k一 ，所 以曲线在该 题 ，绝大多数高中老师没有这样的意识，本文将对 ， 1 曲率加 以研究 ，为他们提供一种全新的方法解决 点的曲率半径 r一÷，即 ，c 此类 问题 ． 曲率 与 曲率半 径 互 为 1 曲率、曲率半径和密切圆 倒数． 曲线的曲率是表示 曲线在某一点的弯曲程度 密切 圆也 可 以看 成 的数值．曲率越大 ，表示曲线的弯曲程度越大．它 过 曲线上点M 和邻近的另外两点作 圆，当另外两 是针对曲线 上某个点 的切线方 向角