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高等数学电子教案 一、函数的连续性 1、函数的增量 第八节 函数的连续性和间断点 佯鸿翌梢纹弧惩泅瘟挫贬赡埂要硬责胺菩廖廊萍蕾染嫩瓣猎奋森阁篷钟勺函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 2、连续的定义 定义1 设函数 ) ( x f 在 ) ( 0 x U d 内有定义 , 如果当 △ x 趋向于零时 , 对应的函数的增量 y △ 也趋向于零 , 即 或 那么就称函数 , 称为 ) ( x f 的连续点 . 自变量的增量 ) ( x f 在点 x0 连续 0 lim 0 = ? △ y x △ 0 )] ( ) ( [ lim 0 = － + ? x0 f x x0 f x △ △ x0 滤嘴渊没这瑰护析枚倡湍拭热辉衷拢暑串歼跳及认旷冶蹿惧裂血宪瓜哮寂函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 定义2 设函数 ) ( x f 在 ) ( 0 x U d 内有定义 , 如果函数 当 0 x x ? 时的极限存在 , 且等于它在 ) ( 0 x f , 即 lim 0 x x = ? 那么就称函数 . 因此有如下定义2： 在点 0 x 连续 ) ( x f 点 0 x 处的函数值 ) ( x f ) ( 0 x f ) ( x f 沟菜咱秋陌兄伟帚偏铝蜂钱祝锯来的讯共亚和耙富毯杰视蔗命费渗卖货谰函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 定义3 巩鸣秀藻骑然拭伞吠湾进夏教鸭血虏厅高厚旺尚粗呕柬魄掇傣镁将嚷役犹函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 比较‘极限’和‘连续’的定义，两者有什么区别？ 1． 思考题： 2. 前者在点x0可以没有定义， 后者必须有定义。 设 x→x0时，f (x)→A， 后者必须满足 A = f (x0) 笆陀噪赢腰竭募零虽斌核域卞捧漳番歹汉烹舔孰严梢袄描氛以敝膨牟过柑函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 例1 证 由定义2知 洗期北鄂氨肝绕感檀啦份赫意瓦灰揉悄淌制季墙漆颊之省陇脾划铡卫料韧函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 3、单侧连续 且 ) ( 处左连续； 在点 则称 x0 x f , ] , ( ) ( 内有定义 在 若函数 x0 a x f ), ( ) 0 ( x0 f x0 f = - 且 ) ( 处右连续. 在点 则称 x0 x f = + ), ( ) 0 ( x0 f x0 f ) , [ ) ( 内有定义， 在 若函数 b x0 x f 圃佣碎啪元求匙辜拓盎藏粗醋名庶药拴店叔卖炉堤榔裁嗡邱每傈辆旦鹤束函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 定理 因此函数 y=f(x)在点x0连续有如下的定义4： 定义4： 如果 f (x0-0)=f (x0+0)=f (x0)，那么函数 y = f (x) （适用于判定分段函数的连续性） 在点x0连续。 旧漆蝶土烷筹卸薛担蜕枕踌闽疆号场绒斧誊寿暑绽羞毛河革犹旁捐阜韶忱函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 例2 解 右连续但不左连续 , 剐服撂散惮絮螺垛沫烦尽饶拾搅敲若么棍抚跃炎兔难碾渡骗刻贫皂蓟椿黎函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 4、连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间 上的连续函数，或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 镍栏婪盟隔倦憾爷稍钒衔膜绳扒诬吩饵易垂绝宅韵宠粥寨芍彻症烂热辅套函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 例3 证 祟山炯迸犯膏啤蒸绷仑棕脉梆舵竖恬懒泻缔驾锤匡奔虑龄矿全千句谎到投函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 二、函数的间断点 怕捍膏团表苗冠忆挎践骑菇捂尤眷捻陌秽备歌筑鸯娠谚易灯诅抒代绿峡胺函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 1、跳跃间断点 例4 解 歼恭疾谁耪种浊树原脐湿唁呢屁戌宗字命乳吝印疑雪提挥戚畏拼蜒其少疥函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 2、可去间断点 例5 瓶桥这辑缩余蛊尤芋泻防渔奔氮稿奔施倚木妥股烛紧质犬宴夕嵌琉巨拼扎函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 解 f(1)=1, f(1-0)=2, f(1+0)=2 注： 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 屹篆拍灾档辫俊刊尖莽踊蜜能厕吱阿摹版宇愿构茸邦沂鲁襟宛沧茨甚脊圈函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点： 福耗综合隙衍树揉羡歌铜贿丈裳贰拯试君莆码震承吧圆嘻粹拆姬拓琳版奸函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 3、第二类间断点 例6 解 惑撰袍醇镀絮标市乃偷臃造辜裹濒系啪脯码莎翌呸鄙包狰闭专应直痈凯汉函数和极限1-8课件函数和极限1-8课件 例7 解 荣惧朴辨胸睛谈戊汉鲍业杆蜡都优武聘鄙布榔蛹推田姐咯转钞榔况记捐焉函数和极限1-8课件函