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3.6.1 弧微分 3.6.2 曲率及其计算公式 例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 注 例2 求椭圆 3.6.3 曲率圆与曲率半径 设曲线方程为 例3 设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨 小结 作业 * 3.6.1 弧微分 3.6.2 曲率及其计算公式 3.6.3 曲率圆与曲率半径 3.6 平面曲线的曲率 设 在(a,b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 解: 如图所示 , 可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小 . 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 (1)若曲线由参数方程 给出, 则 (2)若曲线方程为 则 在何处曲率最大? 解 故曲率为 K 最大 最小 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 计算驻点处的函数值: 最大. 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 (密切圆), R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点M(x,y) 沿曲线 移动时, 的轨迹G 称为曲线C 的渐屈线,曲线C 称为曲线 G 的 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 削其内表面, 问选择多大的砂轮比较合适? 解 设椭圆方程为 由例2可知,椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小,且为 显然,砂轮半径不超过 时,才不会产生过量磨损, 或有的地方磨不到的问题. 1.弧长微分 或 2.曲率公式 3.曲率圆 曲率半径 曲率中心 *