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退化圆锥曲线的妙用举隅 圆锥曲线方程的一般形式为和不同时为．若可分解为两个一次因式的乘积，那么就是退化的圆锥曲线，它表示两条直线．另外，圆或椭圆也可以退化为一点．反之，若两条直线、，也可以写成退化的圆锥曲线方程；点可以写成退化的点圆或退化的点椭圆．这一问题往往被忽视，事实上，如果我们根据问题的具体条件从中发掘某些特性，别出心裁而又恰如其分的构造退化圆锥曲线，那么解题之巧妙则可见一斑． 退化圆、椭圆（即点圆、点椭圆）的妙用 例1.求经过点，且与圆：相切于点的圆的方程． 解 视点为退化圆，其方程为 可设所求的圆方程为 由于该圆经过点， 于是将点代入方程，可解得 故所求圆的方程为． 例2.求与抛物线：相切于点且过点的圆方程． 解 因为点在抛物线：上，所以与抛物线相切于点的切线方程为，即 视点为退化圆，其方程为 可设所求的圆方程为 由于圆过点，代入方程求得 故所求圆的方程为． 例3.已知椭圆：，求椭圆，使它同时满足一下三个条件： 椭圆与椭圆相似（即离心率相同），且它们相切于点； 椭圆过点； 椭圆的长轴在平行于轴的直线上． 解 由题设，视点为点椭圆，其方程为且） 设所求椭圆的方程为 因为点在椭圆上，所以，即 又椭圆与相似，且长轴在平行于轴的直线上，因为有，即有 联立方程，解得，． 将上式代入方程整理可得，即为所求椭圆的方程． 退化双曲线（即两条相交直线）的妙用 例4. 已知椭圆：上的任意一点与短轴两端点、的连线分别交长轴于、两点．椭圆中心为，求证：为定值． 证明 设为椭圆上任意一点，、． 易知的方程为，的方程为 因为与相交，可视为退化双曲线，其方程为 由于点在椭圆上，则，即 将上式代入方程可得 设，，则在上式中令，即得、为方程的两根 由韦达定理可得 于是为定值，从而命题得证． 例5. 过双曲线的右焦点作它的一条渐近线的垂线交于点，交另一条渐近线于点，当线段被双曲线的左准线平分时，求双曲线的离心率． 解 由于与相交，可视它们为退化双曲线，其方程为 即 易求得直线的斜率为，所以的方程为 将方程代入方程可得 设、，则由韦达定理得 依题意，线段被双曲线的左准线平分， 因此，即， 从而双曲线的离心率为． 例6. （2014年全国大纲卷）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且． （1）求的方程； （2）过的直线与相交于、两点，若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程． 解 （1）设，代入解得 所以， 由题设得，解得（舍去）或． 所以的方程为． （2）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为 代入得． 设、，则由韦达定理得， 因此的中点， 又的斜率为，所以的方程为 由于与相交，可视它们为退化双曲线．设过抛物线：与退化双曲线交点的曲线系方程为 即 因为、、、四点在同一圆上，即方程表示圆的方程，所以， 解得． 所以所求的方程为或． 一般地，： ，：与二次曲线 （其中，不同时为零）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件 是．这个命题的证明，其实也可以根据上题的方式予以简捷的处理． 退化抛物线（即两条平行直线）的妙用 例7.求证：直线：或：与直线：或：的交点在同一圆周上． 证明 因为与相交，可视为退化双曲线，其方程为 而，可视为退化抛物线，其方程为 根据两条直线的位置关系的判定易知直线或与直线或都有交点，因此两退化圆锥曲线必有交点存在，故可设经过两退化圆锥曲线交点的曲线系方程为 化简并整理可得 令，并代入上式整理可得 由于上述方程表示一个圆，从而命题得证． 5