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自动控制原理 朱亚萍 zhuyp@hdu.edu.cn 杭州电子科技大学自动化学院 第八章 非线性控制系统分析 8.1 非线性控制系统概述 8.2 常见非线性及其对系统运动的影响 8.3 描述函数法 8.3 描述函数法 描述函数：非线性环节的近似等效频率特性，可应用线性系统理论中的频率法对非线性系统进行频域分析。 基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波分量来近似。 主要解决的问题：无外作用情况下，非线性系统的稳定性和自振荡。 一、描述函数的基本概念 非线性环节的输入输出特性y(x)是x的奇函数，或是正弦输入下的输出为t的奇对称函数，A0＝0。 非线性环节中不包含储能元件（非线性特征与时间无关）。 非线性环节的描述函数反映了非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。 描述函数表示的非线性环节的近似频率特性是输入正弦信号幅值A的函数，因而描述函数表现为关于输入正弦信号幅值A的复变增益放大器，这正是非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。 二、典型非线性特性的描述函数 5.死区与滞环继电特性 Homework＃Chapter8 P196：8-3 在复平面上绘制ΓG曲线和－1/N(A)曲线时，－1/N(A) 曲线上箭头表示随A增大，－1/N(A) 的变化方向。 若ΓG曲线和－1/N(A) 曲线无交点，表明特征方程无ω的正实数解。如下图所示。 上图(a)中，ΓG曲线包围－1/N(A)曲线，对于非线性环节具有任一确定振幅A的正弦输入信号，(－1/N(A)，j0)点被ΓG包围，此时系统不稳定，A将增大，并最终使A增大到极限位置或使系统发生故障。 上图(b)中， ΓG曲线不包围－1/N(A)曲线，对于非线性环节具有任一确定振幅A的正弦输入信号，[Re(－1/N(A))，Im (－1/N(A)) ]点不被ΓG包围，此时系统稳定，A将减小，并最终使A减小为零或使非线性环节的输入值为某定值，或位于该定值附近较小的范围。 非线性系统的稳定判据：若ΓG曲线不包围－1/N(A)曲线时，则非线性系统稳定；若ΓG曲线包围－1/N(A)曲线时，则非线性系统不稳定。 例8-1 已知非线性系统的结构图如下图所示，试分析系统的稳定性。 解 饱和非线性的描述函数为 对于饱和非线性部分，当X≤a时，－1/N= －1/k；当X→∞时，－1/N= －∞。 对于线性部分，G(jω)奈氏曲线与负实轴有一交点，交点坐标为(－KT1T2/(T1+T2)，j0)，交点频率为 。 －1/N曲线和G(jω)奈氏曲线如下图所示。 X≤a 对于上述系统，只要线性部分放大倍数K小到使KT1T2/(T1+T2)1/k时， 则G(jω)与－1/N曲线没有交点，系统稳定。 当线性部分放大倍数K充分大，使得KT1T2/(T1+T2)1/k时，G(jω)与－1/N曲线相交。 当扰动使得幅值X变大时，－1/N上该点A移到交点左侧B点，使得G(jω)曲线不包围B点，系统稳定，于是其幅值逐渐变小，又回到交点A。 当扰动使得幅值X变小时，A点移到交点右侧C点，使得G(jω)曲线包围C点，系统不稳定，于是其幅值逐渐变大，同样回到交点A。 例8-2 已知非线性系统的G(jω)曲线和－1/N(A)如下图所示，试分析其稳定性。 （1）当系统工作在a点时： 当遇到扰动使工作点运动到d点附近，由于G(jω)曲线没有包围该点，系统稳定，其幅值逐渐变小，越来越远离a点； 当扰动使工作点离开a点到c点附近，由于G(jω)曲线包围了该点，系统不稳定，其幅值逐渐变大，同样远离a点，向b点的方向运动，因此a点是不稳定的工作点。 解 当遇到扰动使工作点运动到e点附近，由于G(jω)曲线没有包围该点，系统稳定，其幅值变小，工作点又回到了b点； 当扰动使工作点运动到f点附近，由于G(jω)曲线包围了该点，系统不稳定，其幅值变大，同样回到b点，因此b点是稳定的工作点。 （2）当系统工作在b点时： 3. 非线性系统存在周期运动的稳定性分析 若ΓG曲线和－1/N(A)曲线有交点，特征方程1+N(A)G(jω)=0有ω的正实数解，则系统存在无外作用下的周期运动。 下图给出了非线性系统存在周期运动的四种形式。 对于上图(a)所示系统： 设周期运动的幅值为A0 。当外界扰动使非线性环节输入振幅减小为A1时，由于ΓG曲线包围(－1/N(A1)，j0)点，系统不稳定，振幅将增大，最终回到N0点； 当外界扰动使非线性环节输入振幅增大为A2时，由于ΓG曲线不包围(－1/N(A2)，j0)点，系统稳定，振幅将衰减，最终也将回到N0点。 因此，N0点对应的周期运动是稳定的。 对于上图(b)所示系统： 当外界扰动使系统偏离周期运动