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12.数学建模-随机微分方程法课件
§13. 常见的数学建模方法(8) ---- 随机微分方程法 ;股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the weak
form of market efficiency). ;(2) 维纳 ( Wiener) 过程 ;下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示
为: z ( T ) – z ( 0 ) . ;因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的
变化量服从于均值为 0、标准差为;悔漏不岁廷绷妥傅邵敬柄邮专序咙厘寡钳炊姿粒摈死笑音懒娩土蹋贷骂借12.数学建模-随机微分方程法课件12.数学建模-随机微分方程法课件;ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process )
在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.;野捷世菱舜沃拒扦嗅嗅娇象察睫稻蛾爽完块锄褒棕臂渡着整汾河咎丘祖颇12.数学建模-随机微分方程法课件12.数学建模-随机微分方程法课件; 随机微分方程 ( # ) 也可改写为: ; 容易看出, ??x 的均值 = aΔt ,
Δx 的方差 = b2Δt ,
Δx 的标准差 =;(3) 股票价格的随机模型;根据与标准正态分布密度函数图像的对照,可以说统计数字反映
出日回报率近似于正态分布,故我们可以假定:回报率是一个服从
于正态分布的随机变量。也就是说:
Ri = 均值 + 标准差 × ε, 其中ε 是一个标准正态分布变量 .;这样就有: ;ITO引理 假设变量 x = x ( t ) 遵循 ITO 过程 :
dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 则函数G (x , t) 遵循如下的 ITO 过程 :;证明: 根据二元函数的泰勒展开式 , 有: ;
;这是因为如考虑 S 的函数 G ( S, t ) = lnS , 这里,股票价格 S 遵循几
何布朗运动 ( ITO过程 ): dS =μS dt +σS dz , 其中μ和σ均为常数 ,
dz 遵循(基本)维纳过程. 根据 ITO 引理 , 由于 ;因此, ;正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95 % ,
因此 , 置信度为 95 % 时,
3.759 - 2×0.1413.477 ln ST 4.041 = 3.759 + 2×0.141 ,
即 32.36 = e 3.477 ST e 4.041 = 56.88 .
故六个月后股票价格应落在 32.36 和 56.88 之间 ( 95 % 的概率) .
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