中考试题中最值问题解题策略.doc

中考试题中最值问题解题策略在中考试题中我们常会遇见一些求最值的考题，如求线段长度的最值、线段之和的最值、三角形周长的最值、三角形面积的最值，利润的最值等等.解决这类习题的方法较多，下面谈谈2011年中考中部分求最值问题的解题方法，供读者参考. 一、 利用作对称点的方法求最值 （一） 作对称点求三角形周长的最值 例1　（2011年?河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是　　　　． 分析　1． 此题是由“在直线上作一点使其到直线外两点的距离之和最短”问题拓展而来，如图（3），先作出A点关于直线MN对称的点C，连接BC，交 MN于P点，则交点就是所求的P点.证明时可在直线MN上任取一点不同于P点的点E，连接BE、CE，由两点之间线段最短得出BE+CE＞BC，可证得EB+EA＞PA+PB，所以PA+PB最短. 2．此题中△EFD中位线EF长度为定值1，若让△EFD的周长最小，则应让DE+DF的值最小，如图（2），作F点关于BC对称的点G，连接EG，交BC与D点，此时DE+DF的值最小.根据Rt△ABC中条件可得AB=4，AC=GF= 2， EG=DE+DF=，所以△EFD的周长最小值为+1． （二） 作对称点，再利用相似等知识求线段之和的最值 例2　（2011年?山东）如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0）． （1） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2） 判断△ABC的形状，证明你的结论； （3） 点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值． 解析　（1） 将A（－1，0）代入抛物线解析式得y＝x2－x－2，再将函数解析式配成顶点式，得抛物线顶点D的坐标为（，）． （2） 利用勾股定理求出AC、BC的长，得AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形．?摇 （3）由例1得，作出点C关于x轴的对称点C′，连接C′D，交x轴于点M，可得MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交x轴于点E．可证△C′OM∽△DEM，求出OM=，可得m=的值.（也可利用待定系数法求出直线C′D的解析式为y=-x+2，再求出直线C′D与x轴于交点M的坐标， 即可求出m=） 注：解决这类习题时，要分清作哪一个点关于哪条直线的对称点，并完成对称点的作图.一般利用勾股定理或相似求出每条线段的长度，也常利用待定系数法求过两点（其中一点和另一点的对称点）的直线解析式，再求解即可. 二、 利用勾股定理建立方程模型求重叠部分面积的最值 例3　（2011年?山东）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK. （1） 若∠1=70°，求∠MKN的度数； （2） △MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3） 如何折叠能够使△MNK的面积最大？求最大值. 解析　1．由已知可证∠KNM=∠KMN=70°，所以∠MKN=40°；　2． 如图（1）过M作ME⊥DN，由1中的∠KNM=∠KMN得KM=KN，因为斜边KM大于直角边ME,得KM=KN＞1,所以S =KN×1＞，所以△MNK的面积不能小于；　3． △MNK是折叠的两个图形的重合部分，要使△MNK的面积最大，就应让两部分最大重合，故分两种情况：情况一、如图（2），将矩形纸片对折，使点B和D点重合，此时点K也和D点重合.设MK=MD=x，在△AMK中由勾股定理建立方程：x2=（5-x）2+12，得x=2.6，得MD=ND=2.6,此时△MNK面积的最大值为1.3；情况二、如图（3），将矩形纸片沿对角线对折，折痕MN和对角线AC重合.设AK=MK=KC=KN=y，在△ADK中由勾股定理建立方程，y2=（5-y）2+12，得y=2.6，可求出MK=KN=2.6,此时△MNK面积的最大值也为1.3. 注：解决这类习题时，要确定重叠部分的面积最大情况，画出图形，根据已知条件利用勾股定理、相似或函数的等知识给予解决. 三、 利用函数模型求最值 （一） 利用函数模型，求利润方面的最值 例4　（2011年?江苏） 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）． （1） 求y与x之间的函数关系式； （2） 已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买