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向前差分示意图 ∆f k f k +1 −f k 2 ∆f k f k +2 −2f k +1 +f k 3 ∆f k f k +3 −3f k +2 +3f k +1 −f k 4 ∆f k f k +4 −4f k +3 +6f k +2 −4f k +1 +f k 5 ∆f k f k +5 −5f k +4 +10f k +3 −10f k +2 +f k +1 −f k f x +m ,f x +m−1 ,,f k 与帕斯卡三角形比较 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... ... ... ... ... ... 我们可以发现f 在x 处的m 阶差分 m ，是函数值f ,f ,,f 的线性组合，而且 k ∆ f k k +m k +m−1 k 组合系数也有规律，m 阶差分的系数是上图所示的Pascal 三角形的第m 行，然后符号一正 一负地交替，将这一规律写成定理形式即是差分的一个性质： m m m j   ∆ f k ∑(−1) f m+k −j   j 0 j  用类似的方法我们不难分析向后差分的这种组合性质。 m m m j   ∇ f k ∑(−1) f k −j   j 0 j  因此向前差分与向后差分有一种自然的关系 m m ∇ f k ∆ f k −m 1 k 差分与均差的关系: f [x ,x , ,x ] ∆f 0 1 k k !hk 0 从Newton 插值公式推导出等距节点情形的插值公式： 设x x0 +th , n L (x) ∑f [x ,x ,,x ]ω (x) n 0 1 k k k 0 这时ω (x) (x −x )(x −x ) (x −x ) t(t −1) (t −k +1)hk k 0 1 k −1 n t   j 所以L