金融衍生产品的发展历史.PPT

線性規劃Linear Programming 第四章 線性規劃 第一節 線性規劃的意義和模式 第二節 線性規劃問題的範例和解法 第三節 線性規劃問題的特殊解 第四節 對偶問題 第五節 敏感性分析 第六節 線性規劃實例 第一節 線性規劃的意義和模式(1/6) 一、線性規劃的意義 線性規劃（ Linear Programming ）為計量管理學的重要方法之一，目的在解決如何分配有限的經濟資源，以發揮其最高效用。 第一節 線性規劃的意義和模式(2/6) 二、線性規劃的模式 線性規劃理論乃是一種數學工具，在各種有限資源的限制條件 ( Constraints ）下，將有關問題及數據資料以數學模式（ Mathematical Model ) 方式列出，對問題之分析與瞭解頗有助益。然後，採用計量分析（ Quantitative Analysis ）的技巧，求取最適方案（ Optimum Solution ) ，提供決策管理階層，作為決策的依據。 第一節 線性規劃的意義和模式(3/6) 線性規劃理論所能解決的管理問題，其中有關的未知數，應變數（ Dependent Variable ）與自變數（ Independent variables ）之間，係呈線性（ Linear ) 關係。問題中的應變數，通常表示求取某項經濟上的目標（ Objectives ) ，例如利潤（ Profits ）、成本（ Costs ）、產量（ Products ）、容量（ Capacity ）的極大值( Maximum ）或極小值（ Minimum ）。問題中的自變數乃是各種可運用經濟資源的數量，自變數又受到這些有限經濟資源的限制。 第一節 線性規劃的意義和模式(4/6) 根據上述特性，可以寫出線性規劃的一般“數學模式”如下： 第一節 線性規劃的意義和模式(5/6) 以上線性規劃的數學模式中， f (x)為應變數，而x1,x2,….xn則表示影響f(x)的自變數。所以第一式我們稱之為線性規劃的目標函數（ Objective Function ) ，此目標函數必須不違反各種資源限制因素所形成的線性聯立方程組（ System of Equations ）。各限制式之常數項bi左邊之符號也可能為＝或≧的形式。 第一節 線性規劃的意義和模式(6/6) 求解線性規劃問題的方法有兩種，圖解法（ Graph Method ）及單形法 ( Simplex Method ）。圖解法對於只含兩個變數的問題，可以很容易地求出問題的答案。但如果問題中所含之變數增多時，圖解法所繪的立體空間，便不太容易顯示出問題的答案，則必須採用“單形法”求解。 第二節 線性規劃問題的範例和解法(1/58) 一、圖解法 (一)最大利潤問題 假定某工廠製造x1及x2兩種產品，每種產品在製造過程中，都必須經過兩部不同的機器 M1及 M2 分別處理。每一單位的x1需要機器 Ml 處理 2 小時及機器 M2 處理 3 小時。每一單位的x2需要機器 M1 處理 4 小時及機器 M2 處理 2 小時。每一單位物的利潤為 60 元，每單位物的利潤為 50 元。機器 M1 的有效時間為 80 小時，機器 M2 的有效時問為 60 小時。則此工廠為求得最大利潤，應生產多少單位之x1及x2，且能符合機器有效時間的限制。 第二節 線性規劃問題的範例和解法(2/58) 因此，若以 P 代表工廠的利潤，分別由產品x1及產品x2得來，則目標函數為： 製造產品x1及x2所需時間的總和，不得超過兩部機器的有效時間。故機器 M1 有效時間的限制式可以寫成下式： 第二節 線性規劃問題的範例和解法(3/58) 同理，機器 M2 有效時間的限制式為： 此外， x1及x2必須不得為負數，因為x1及x2分別為產品之產量，必須等於或大於零，即x1≧0， x2 ≧0，亦即答案是在平面圖形中的第一象限 ( First Quadrant ） 第二節 線性規劃問題的範例和解法(4/58) 因此，整個線性規劃問題可以寫成數學方程式： 第二節 線性規劃問題的範例和解法(5/58) 第二節 線性規劃問題的範例和解法(6/58) 所處理的均為線性方程式，可行解（ Feasible Solutions ）構成之可行區域（ Feasible Region ）所形成之多邊形必常為凸多邊形（ Convex Region ）。 尋找線性規劃問題解答，只要求端點上的產量組合，便可找出產生最大利潤的最適當解。 第二節 線性規劃問題的範例和解法(7/58) 端點 B 之座標，可以應用解聯立方程式的方法，求下列聯立方程式： 第二節 線性規劃問題的範例和解法(8/58) 第二節 線性規劃問題的範例和解法(9/58) 另外，在原