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第五章习题答案 用Jacobi迭代法求解方程组取初值问Jacobi迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？ 解：先将方程组化成便于迭代的形式，以分别除以三个方程两边得 ， 迭代矩阵 由于故Jacobi迭代法收敛。 由公式　 及 可得 所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于 设方程组　 考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性； 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组，要求时迭代终止。 解：（1）① 因为，故Jacobi迭代法收敛。 又：　 所以Gauss-Seidel的迭代矩阵 因为故Gauss-Seidel迭代法收敛。 ②据方程组的Jacobi迭代格式： 取计算求得 由于，因此，所求的解为 另据Gauss-Seidel迭代格式为： 取计算求得 由于，因此，所求的解为 ⑵①因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 ②此方程组的Jacobi迭代格式为： 取，可求得 由于故所求解为： 据Gauss-Seidel迭代格式： 取求得： 由于，故所求解为： 设方程组　试考察此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。 解：⑴所给方程组的Jacobi迭代矩阵 因为解得： 则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。 所给方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵 因为解得： 则所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法收敛。 ⑵Jacobi迭代矩阵 因为 则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵 因为解得： 则，所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法不收敛。 如何对方程组进行调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛？试对调整后得方程用Gauss-Seidel迭代法求解，要求当时迭代终止。 解：调整后为： 这是按行严格对角占优方程组，故Gauss-Seidel迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代格式为： 取求得： 所以 讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛较快，其中 解：⑴Jacobi迭代法迭代矩阵 ，所以，Jacobi迭代收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵 所以，Gauss-Seidel迭代收敛 因为，故Gauss-Seidel迭代法较Jacobi迭代法收敛快。 ⑵Jacobi迭代法迭代矩阵 所以，Jacobi迭代不收敛。 Gauss-Seidel迭代： 所以，Gauss-Seidel迭代收敛。 设方程组的系数矩阵，试求能使Jacobi迭代法收敛的的取值范围。 解：当时，Jacobi迭代矩阵 由得 故，由得时，Jabico迭代法收敛。 设方程组，系数矩阵为试给出能使Guass-Seidel迭代收敛的充要条件。 解：Gauss-Seidel迭代矩阵 由，得Guass-Seidel迭代收敛的充要条件是。 给定方程组证明：解此方程组的Jacobi迭代法发散，而Gauss-seidel迭代法收敛。 证明：Jacobi迭代矩阵 解得： 所以，Jacobi迭代法发散。 又Gauss-seidel迭代矩阵为 可见，G的特征值为 所以，Gauss-seidel迭代法收敛。 设求解方程组的Jacobi迭代法的迭代矩阵为（L,U分别为上、下三角矩阵），求证当时解此方程组的Gauss-seidel迭代格式收敛。 证明：Gauss-seidel迭代矩阵为 设是任一特征值，是的属于的特征向量，即 于是 从而 故有 ，法收敛。 用SOR迭代法求解方程组（取） 要求当时迭代终止。 解：SOR迭代公式为： 取初值，迭代可得： ，所以所求解 用SOR迭代法求解方程组（分别取）要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数（精确解为）。 解：SOR迭代公式为： 取，初值，迭代5次达到精度要求 取，初值，迭代6次达到精度要求 取，初值，迭代6次达到精度要求 设矩阵A非奇异，试证明Gauss-seidel迭代法求解方程组时是收敛的。 证明：A非奇异，对， . 对任一给定n维向量恒有从而 即 正定， 又对称，所以 Gauss-seidel迭代法收敛。 证明矩阵对于是正定的，而Jacobi迭代法只对是收敛的。 证明：A是对称的，若A正定，则其各阶顺序主子式应大于0，即 所以当时，矩阵A是正定的。 的Jacobi迭代阵， 得，所以得 即当时，Jacobi迭代收敛。 设A 为正