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2.8二次函数与一元二次方程（第一课时）教学设计 南海执信中学 蒋勇军 【教学目标】 1、知识与技能： （1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法； （2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征； （3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。 2、过程与方法： （1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系； （2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。 3、情感、态度与价值观： 培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。 【重点与难点】 重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。 难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。 【教法与学法】 教法：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。 学法：探究式学习。 【课前准备】 多媒体、PPT课件。 【教学过程】 情景或问题设计 设计意图 学生活动 课前的话： 教师投影：数学家华罗庚说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家事万休。” 引用名家名言，，引起学生对“数”和“形”之间关系的兴趣。 感受伟大数学家对于数学的理解 环节一：复习旧知，明确结论 准备预习提纲，让学生提前预习，教师引导总结并板书： 通过观察函数图象，可以发现并归纳一次函数与一元一次方程之间存在联系： 从“数”的方面看，当一次函数y= x+1的函数值y=0时，相应的自变量的值即为方程x+1=0的解；从“形”的方面看，函数y= x+1与x轴交点的横坐标即为方程x+1=0的解。 实际上，这也反映了一般函数 与方程的关系：一次函数y=ax+b 的图象与x轴交点的横坐标即 y=0的值就是方程ax+b=0的根。 这一环节让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质。 活动一：独立预习，主动思考 （1）解一元一次方程x+1=0；（2）画一次函数y= x+1的图象，并指出函数y= x+1的图象与x轴有几个交点。（3）一元一次方程x+1=0与一次函数y= x+1有什么联系？ 学生按教师发下的提纲提前进行预习，课内交流自己的预习成果，并以小组代表进行汇报。 环节二：类比猜想，启迪新知 （4）你觉得一元二次方程x2+2x=0的根与二次函数y=x2+2x之间有联系吗？寻求它们之间的联系可以采用哪些方法来研究呢？ 师生：求根、作图、观察与发现、归纳结论、验证结论。 引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法。 活动二:合作学习，探求方法 学生思考，交流，初步探求解决问题的方法。 环节三：问题探究，深入思考： 教师投影出二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象。 提出问题： （1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？解方程检验一下。一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？ 二次函数 函数图象与x轴交点横坐标 方程的根 一元二次方程 y=x2+2x -2，0 -2，0 x2+2x=0 y=x2-2x+1 1 1 x2-2x+1=0 y=x2-2x+2 无交点 无实根 x2-2x+2=0 问题：函数图象与x轴相交时，函数值y=? （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系呢？ 教师引导学生回答，学生对于第（1）、（2）问的回答问题不大，基本通过思考和讨论可以解决，第（3）问需要较好的引导，从数与形结合的角度进行。 注重“最近发展区”，寻根问源， 学生对二次函数与一元二次方程的联系从特殊到一般性结论的讨论。逐步提高学生从旧知识中“类比猜想”、“观察发现”、“归纳概括”最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力。 活动三：小组合作，探求新知 学生独立思考，完成第（1）、（2）题，填写表格，初步感知特殊函数与方程之间的联系，然后小组讨论交流成果，过渡到第（3）问。然后对第（3）小问进行一般性结论的讨论与交流。 环节四：观察发现，归纳结论 教师引导学生发现并完成表格： （1）观察填表： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数 2 2