概率论与数理统计A 1.2.ppt

一、概率的古典定义 ①样本空间Ω只含有限个元素; ②每个样本点发生的可能性相同 ——等可能概型（古典概型）。 古典概率： 设E为等可能概型，其样本空间Ω共含有n个基本事件，其中A包含的基本事件有k个，则 例3、抽样模型 一批产品共有N件，其中M件是次品，其余 N-M件是正品。现从该批产品中任取n件，试 分别在有放回和无放回的情况下，求事件 Ak={所取n件中有k件次品}的概率. 例4、盒子模型 设有n个小球，N个盒子，每个球都是等可 能地放入任一个盒子中去，每个盒子的容量 不限，求以下概率： (1)指定的n个盒子中各有一个球（记为A）； (2)恰有n个盒子中各有一个球（记为B）. 设某班级有n个学生（n≤365），问，该班至少有俩个人同月同日生的概率是多少？ 例5、抽签与顺序无关 口袋中有a只黑球，b只白球，他们除颜色 不同外，其他方面没有差别，现在把球随机 地一只只摸出来（不放回），求第k次摸出的 一只球是黑球的概率。 适用于(1)样本空间是度量有限的区域； (2)随机点落在度量相同的子区域的可 能性相同. 例1、均匀陀螺的圆周上均匀地刻着区间[0,3) 上的诸数字．旋转它，求陀螺停下时 其圆周与桌面接触点刻度恰好位于 ［1/2,2］的概率． 三、概率的统计定义 用频率的极限来定义 对E作n次重复试验，其中事件A出现m次，称m为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率。 1? 0≤ fn( A) ≤1 2? fn(Ω)=1, fn(?)=0 3. 若事件A1,A2,…,Ak两两互不相容, 则: 频率具有波动性,如“抛硬币”试验，将一枚硬币抛n次，正面出现的频数m,频率m/n： 频率的波动性随n增大而减小: 四、概率的公理化定义 概率是什么 概率—事件可能性大小的度量 1933年，前苏联，柯尔莫哥洛夫 提出概率的公理化定义 5.加法公式： P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 例4 某班有40名同学，在一次期中考试中，进行了甲、乙两门课程的测试，测试结果为：课程甲不及格率为20%，课程乙不及格率为25%，而该班恰有28位同学没有出现不及格现象．从该班随机抽取一名同学，求他两门课程都不及格的概率． 0.5005 12012 24000 K.皮尔逊 0.5010 6019 12000 K.皮尔逊 0.5069 2048 4040 蒲丰 0.5181 1061 2048 德.摩根 频率 m/n 频数 m n 实验者 若n→∞时,fn(A)= m/n →p(稳定于p)， 则称p为事件A的概率。 定义：设 为随机试验的样本空间， F为 上的事 件域A为F中的事件，若集合函数P(·)满足： 1、非负性：对于每个事件A，有P(A) ≥0； 2、规范性：对于必然事件 ，有P( ) =1； 3、可列可加性：若随机事件A1,A2,…,Ak,…两两互 不相容（AiAj= ,i≠j），则有 则称P(A)为事件A的概率。 1.P(Φ)=0; 2.有限可加: 若A1,A2,…,An两两互不相容,则 P(A1∪A 2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(An); 概率的运算性质： 4.若A B,则P(B-A)=P(B)-P(A) ; 3.P( )=1-P(A); 若A B, 则P(A) ≤ P(B) (单调性) 例2、已知 则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率是多少？ * * * * * * * * * * * * * * * * * * §1.2 概率的定义与性质 如“抛一枚硬币，正面朝上的概率为1/2” “掷一枚骰子，得6点的概率为1/6” 例1、一部四册的文集按照任意次序随机地放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成（一）、（二）、（三）、（四）的顺序的概率是多少？ 解、设A表示“自右向左或自左向右恰成（一）（二）（三）（四）的顺序” 则样本空间共含有4！=24个样本点 而A含有2个样本点 所以，P(A)=2/24=1/12 例2、