概率论与数理统计同济大学第五章.ppt

第五章 随机变量序列的极限 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 二、依概率收敛定义及性质 定义 性质 请注意 : 问题 : 贝努利 设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 是事件A发生的频率. 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 定理2 (德莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 近似服从标准正态分布 例2. 设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用中心极限定理估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率? 例3. 甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时是随机的，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1％？ 例4. 在人寿保险公司里有3000个同龄人参加人寿保险.在一年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在一年的第一天交付保险费10元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元,试用中心极限定理求保险公司亏本的概率？