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· 辅教导学 · 数学通讯——2O13年第9期(上半月) 27 探究以圆为背景的平面向量问题 张树辛 童其林 (福建省永定县抚市中学，364100) (福建省永定县城关中学，364100) 以圆为背景 的平面 向量 问题 ，是一类较为新 点 Al，A2，A3，A4，As，A6，则 颖的问题 ，常出现在模拟题和高考题 中，本文对这 ． +蕊 ．蕊 + ．蕊 + 类问题进行探究 ，希望对大家的学习有所帮助． ． + ． + ． 1．求值 问题 例 1 (2005年全 国卷)AABC的外接圆的圆 解析 如图 2， 心为0，两条边上的高的交点为H，0霄一m(-OA-+ ． 茁 + )，则实数 一 一 l I· A 解法 1 特殊化 ：设 AABC为直角三角形 ，则 COS ；， 0为斜边 BC 的中点，H 与 A 重合 ，所 以O 一 一 1X 1×COS60。一 ， 西 ，即m 一 1． 图2 解法 2 一般考虑． 同理可得其余五项均 由 一碡 一 一m( + + )一 为妻，故所求结果等于3． = (一1) +m(苟 + )． 又 _l_ ，因此 ．--B-C一0，即商 ．( 点评 本题用平面向量的数量积定义直接求 一 )一 0，所 以 解 ，要注意向量的夹角(共起点后形成的角)问题． (m一1) ．( 一 )+m(--O~+ )． 例3 如图3，AB是半圆0 ( 一 )一 0． 的直径 ，C，D是弧AB的三等分 又( + )．( 一--o~)一 z一 z一 点 ，M，N 是线段AB 的三等分 0，且 ．( 一 )=：= ． 不恒为 0，因此 点．若 OA一6，则面 ． 的 A M o N B = 】． 值是 ． 图 3 解法3 利用特殊法推 解析 连结 ，0D，则 得 = 1，下面来证明 一 面 ．--N-C= ( +--05)．( + ) + + ，即 ： 一 ． + ． + ． + ． + ． B D C 如图 1，设 BC的中点为 一 2×2×COS180。 D，连线 AD、OH 且 AD n 图 1 + 6X 2X COS60。×2+ 6× 6× COS60。 OH—G，且G为重心，因此 一2萄 ，又 茸上