第五部分相似矩阵及二次型.docVIP

第五部分 相似矩阵及二次型作业 （一）选择题（15分） 1．若阶方阵的任一行元素之和都等于，则应有一特征值为（ ） （A） （B） （C）1 （D）0 2．设为阶方阵，且，则（ ） （A）必为零阵 （B）的特征值全为0 （C）只有一个零特征值 （D）有个线性无关的特征向量 3．设为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（ ） （A） （B）与有相同的特征值和相同的特征向量 （C）与相似于同一个对角阵 （D）对任意，与相似 4．已知方阵的特征值为，则相似于（ ） （A） （B） （C） （D）（空白处元素均为0） 5．阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是（ ） （A）所有级子式为正（） （B）的所有特征值非负 （C）为正定矩阵 （D）秩（）= （二）填空题（15分） 1．若阶可逆阵的每行元素之和均为，则 必为的特征值。 2．若与相似，则= ，= 。 3．若4阶矩阵与相似，且的特征值为1，2，3，4，则= 。 4．若为3阶实对称矩阵的两个不同特征值，对应的特征向量分别为，则常数= 。 5．若为正定阵，则实数的取值范围是 。 （三）计算题（40分） 1．设均是阶正交矩阵，且，试求。 2．设3阶实对称矩阵的特征值为，且与对应的特征向量为 ，求。 3．设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值。 4．设为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足 （1）求矩阵，使得； （2）求矩阵的特征值； （3）求可逆阵，使得为对角阵。 （四）证明题（30分） 1．为两个阶阵，且其个特征值互异，若的特征向量总是的特征向量，试证：。 2．设为非零的阶方阵，并且有一个正整数，使，试问能否与一个对角阵相似？并说明理由。 3．设分别为阶正定矩阵，试证：分块矩阵是正定矩阵。 自测题参考答案： （一）1．（A） 2．（B） 3．（D） 4．（D）提示：为实对称矩阵，可对角化，又 5．（D） （二）1． 2．1，0 3．29120 4． 5． （三） 1．0 （提示：利用正交矩阵及行列式性质，） 2． 3．（提示：有，且，可得，解线性方程组，又，可得结论） 4．（1）； （2）的特征值为1，1，4； （3）令，，即为所求。 （四） 1．提示：设为的个特征向量，存在可逆矩阵，使，其中为的特征值阵；，其中为的特征值阵，从而有。 2．不能与对角阵相似（提示：因的所有特征值全为0，由得，又，的基础解系中没有个线性无关的特征向量） 3．提示：矩阵正定的充要条件是存在可逆矩阵使得。由正定，所以存在可逆阵，使成立。令，则，正定。 第五部分相似矩阵及二次型作业 第 1 页 共 3 页