参数变异法在两个微分中值定理证明中的应用.pdfVIP

第 11卷 第 2期 宁波教育学院学报 V01．11 No．2 2O09年 4月 JOURNALOFNINGB0INSTnTUIE 0FEDUCATI：ON Apr．2009 参数变异法在两个微分中值定理证明中的应用 徐礼卡 (浙江工业大学浙西分校 ，浙江 衢州 324000) 摘 要 ：证明拉格 朗 日中值定理和柯西中值定理的途径是引进适当的辅助函数实现 向罗尔定理的化归。应用数学 方法论 中的化归方法之一——参数变异法，可使引进辅助函数的方法显得 自然和清晰，并且利用这种方法引进辅助函 数证 明了其他一些微分 中值命题。 关键词 ：参数变异法；中值定理 ；辅助 函数 中图分类号 ：O17 文献标识码 ：A 文章编号 ：1009—2560(2009)02-0078—04 拉格朗 日中值定理、柯西中值定理是微分学中的两个重要定理，它们揭示 了函数值与导数值之间 的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据．对两个微分中值定理的证明一 般都是化归为罗尔定理来证明的，而化归的关键在于构造辅助函数．怎样构造辅助函数呢?在微积分 教材 中一般都是直接给出两个微分中值定理证明所需的辅助函数，而在文献 【1]中也是直接给出了 11 种证 明拉格朗日中值定理所需的辅助函数 ，4种证明柯西 中值定理所需的辅助函数．这些证明所需的 辅助 函数是怎样想出来的?可真像 “从帽子里忽然掏出来的一只兔子 !” 而应用数学方法论中的化归 方法之一——参数变异法 ，就可使引进辅助函数的方法显得 自然和清晰，并且利用这种方法引进辅助 函数还可证明其他一些微分中值命题． 1应用参数变异法构造拉格朗 日中值定理证明中所需的辅助函数 罗尔中值定理：若函数f(x)满足如下条件：(i)在闭区间[吗6]上连续；(ii)在开区间(吗6)内可导； ∞f(a) (6)。则在 (6)内至少存在一点 ，使得 厂()=0． (1) 拉格朗日中值定理 ：若函数 满足如下条件 ：(i)f在闭区间[吗6】上连续；(ii)f在开区间(6)内可 导；则在 (吗6)内至少存在一点专，使得 厂()： ． ， (2) 证明：(2)式变形为 厂()一 ：0， (3) 依此作辅助函数 ，() ()一 ． (4) 0— 0 显然，函数F在 【6】上连续，在 (6)内可导，而且F(0)=F(6)，于是由罗尔中值定理知道，存在一点 ∈(a,b)，使得 F )_厂()一 ： ：0， (5) (，一 “ 这就是所要证明的(3)式31『． 事实上，定理的证明，在一般的教材中，都是引入辅助函数 ()：厂()(。)一6一 或 收稿 日期 ：2O09—02—26 作者简介 ：徐礼卡 (1958一)，男，浙江东阳人 ，浙江工业大学浙西分校中学高级教师 ．主要从事数学教育研究。 78 徐礼卡 ：参数变异法在两个微分中值定理证 明中的应用 ()：．厂()一题 利用罗尔定理证明．特别地，文献 【1]给出了 11种辅助函数，但是都未给出 ， 函数构造的思维过程 ，人们 自然会问，相关的辅助函数 ()究竟是怎样想到的? 其实 ，我们用数学方法论中的参数变异法可以解决构造辅助函数的思维过程 ，真正实现思维过程 的 “理性重建”．因为拉格朗 日中值定理