利用对数平均不等式破解极值点偏移问题.pdfVIP

舅 露 ￡．晃 中学数学杂志 2016年第9期 刊用对数平均不等式破解极值点儡移问■ 湖北省黄石市第一中学 435000 杨瑞强 近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数 √詈1)，构造函数 )：2l眦一(一÷)( 的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往 往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切人，在短 1)，则厂()=一f1一l1‘0，因此 )在(1， 时间内难 以解决．如果我们借助对数平均不等式加 以放缩，那么问题难度大大降低．下面谈谈利用这个 +∞)上单调递减，于是 ) 1)=0，从而v／ 不等式破解此类高考导数的压轴题． 成立． 1 极值点偏移的定义 对于函数Y= )在区间(0，b)内只有一个极 再证明 ，等价于 ln。一ln6 值点 o，方程 )=0的解为 l，2，且 口 1 2 b．若 ≠X0，则称函数y： )在区间(口， 2(a-,／) 。n - ， 。 ～ 6)上极值点 。偏移． (1)若 。，则称函数y： )在区间 (令 =詈1)，构造函数g()=l一 (。，6)上极值点 左偏，简称 。左偏；(2)若 十上(1)， )=～等十lo，因此 g(x)在(1，+a。)上单调递增，于是g(x)g(1)= 。，则称函数Y= )在区间(0，b)上极值点 右偏，简称‰右偏． o,b~N 成立． 2 对数平均不等式 综上所述，当 0，60，有 l(n，b)≤ 两个正数 和b的对数平均定义： (仅当口=b时，取 “=”)。 4／0，6))=：JI{ln口一ln6、(w。≠6)，’ 【n (n=6)． 3 链接高考压轴题 例 1 (2o16年全国课标卷 I理科第21题)已 对数平均与算数平均、几何平均的大小关系： 知函数I厂()= (一2)e+a(一1)有两个零点． 当00，60，有 ≤L(口，6)≤ (仅 (I)求 口的取值范围； 当 口=6时，取 “=”)． (1I)设 ， 是 )的两个零点， 证 明：1+ 22． 证明 当 口=6时，“=”显然成立． 解 (I)口0(过程略)． — ． b 下面证 明当 0≠6时， l — l—nb n{z - (1I)由(I)可知00，设 11 22， 由 I)