分式噪声驱动的一类随机偏微分方程的非参数估计.pdfVIP

数 学 年 刊 2013，34A(5)：627M342 分 式 噪声 驱动 的一类 随机偏 微分 方程 的 非参 数估 计冰 唐 丹 王 永 进 张冠 男。 提要 研究了一类由分式噪声所驱动的随机偏微分方程的统计推断．先构造了偏微分算子时间相依系 数的非参数估计量，然后得到了该估计在最大值范数下的收敛率和渐近正态性．该收敛率由系数的平 滑参数和分式噪声的Hurst参数共同决定． 关键词 分式噪声，非参数统计，随机偏微分方程 MR (2000)主题分类 60H15，62F30 中国法分类 0211 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2013)05—0627—16 1 引 言 近些年来，由时空白噪声所驱动的随机偏微分方程有了很大的发展，它被广泛地应 用于物理学、材料科学以及生物科学等领域的模型中．在以往的大部分研究中，所考虑 的随机偏微分方程都由Q—Wiener过程所驱动并取值于希尔伯特空间 (见 1『])．但是最近 一 些研究发现，在交通网络分析、金融数学及其他的一些领域中，很多随机过程表现出 自相似和长时间相依的性质．为了刻画这些性质，由分式噪声所驱动的随机偏微分方程 被引入我们的模型．具体模型如下． 假设过程 札(t，)，t∈[0， ，X∈[0，1】由如下方程所定义： f{du(0(￡，)：(￡)△钆(￡，x)dt+Ed (t，)，(t，)∈0[，×0[，1】， ， · )= o()·， (1．1) IuE(t，0)= E(t，1)=0， t∈10，TI， 其中A：蒹 ，()·∈0，并且e0是一个常数．我们将在下一节中给出函数集合O和分 式噪声wZ，H∈(，1)的精确定义．本文所考虑的分式噪声所驱动的随机偏微分方程 中，一个关键参数是微分算子的乘数 (￡)，t∈0【， ，它的估计量构造及性质讨论是本文的 主要任务． 在过去的几十年中，很多学者对扩散类过程和半鞅的统计推断进行了系统的研究， 具体成果可见文 2【]中的详细介绍．在文 [3]中，Huebner和Rozovskii研究了一类随机 偏微分方程参数的极大似然估计，并将其结果扩展到抛物型的随机偏微分方程中．更进 本文 2010年 10月26日收到， 2012年 6月4 日收到修改稿． 对外经济贸易大学国际经济贸易学院，北京 100029．E—mail：dantangcn~gmail．tom 南开大学商学院和数学科学学院，天津 300071．Email：yJwang~nankai．edu．Cll 南开大学数学科学学院，天津 300071．E-mail：guan@mail．nankai．edu．ca 本文受到国家自然科学基金 (No和对外经济贸易大学学术创新团队资助项目 (数量经济学理论 与应用创新团队)(No．CXTD4-01)的资助． 628 数 学 年 刊 34卷 A辑 一 步地，对于抛物型随机偏微分方程，Huebner和 Lototsky[]构造了其强椭圆型偏微分 算子的时间相依系数的一个核估计．在文 5【】中，PrakasaRao研究了一个由Gaussian噪 声所驱动的类似于 (1．1)的方程，并且得到了 ()的估计．本文与之最大的不同是方程由 分式噪声所驱动．由于分式噪声的长时间相依性，比起文 5『]来，相关的计算变得更加复 杂．在方程 (1．1)中，我们考虑一类特殊的算子 Q，从而方程能被转化成由分式布朗运动 所驱动的随机微分方程组．然后我们基于该方程组的解构造了 (￡)的估计量． 本文的构造如下．在第 2节中，我们介绍分式布朗运动以及关于分式布朗运动的积 分，同时引进本文所考虑的方程．在第 3节中，我们构造了 (t)的估计量，并且研究在最 大值范数下该估计量的收敛率和渐近正态性．在本文中，大写的 仅表示一个正常数． 2 预 备知 识 2．1分式布朗运动及其积分 参数为 H ∈(0，1)的分式布朗运动 W日= { 日()，t≥0)是一个中心化的高斯过