倒数和不等式的几个结论.pdfVIP

科技资讯2006 NO.5 SCIENCE TECHNOLOGY INFORMATION 科 教 平 台 倒数和不等式的几个结论 李永耀 宁波大学基础教育学院 315016 中图分类号 G424.1文献标识码 A 在教学中经常碰见型如px+(x,p,q0)的代数式,它在递推 数列的求通项 函数的求最值 特别是在不等式证明中有着重 要的地位.文(1)给出了一个不等式 见参考文献 设a, b 此不等式不仅证明 方法独特,而且应用范围广阔 既对解方程 求函数的值域等 提供了一种方法,又给教师对这方面知识的命题指明了一条通道, P展开式的特点是:当分母由k(0 )个字母相乘时 分 真是受益匪浅.受其影响,进行研究后发现,可以把这个不等式进 子是不同于分母的另外n-k个字母的积 如果把P式中的每个小 行推广. 括号内的和式运用 算术-几何不等式 则每个小括号内的个 结论1(对其正数的个数进行推广)设 数以及应用 算术-几何不等式 后 积的指数可 由组合数求得如P式中的第四个括号的个数是n个不同元素中 则有 当 任取二个元素的组合数C2,其指数的计算为 n 且仅当时取等号. 证明:由条件 同时有 从而有 和 如果把每个小括号都用此方法进行演变 再运用结论2结 把这两式相加: , 合二项式定理就有 平方得 由于推导中只用了一次几 何平均数不大于算术平均数,由基本不等式的取等条件得到 当 且仅当 时取等号. 有了结论1的证明方法 再对其指数进行推广已不是问题. 结论2 设 当且仅当 时取等号. 其实,我们还可以把它推广到每个正数与其倒数和的乘积 由于在上面的证明中只运用了 算术-几何不等式 和结 这样对解决流行的有关习题更加方便 如不等式 论2 而 算术-几何不等式 和结论2取等号的充要条件都 1)若a,b0且a+b=1时 有 是各个正数相等 所以结论 3 取等号的充要条件也是 有了这个结论3,我们就能简单地证明 2)当a,b,c0且a+b+c=1时, 不等式. 结论4 则有 3)当a,b,c0且a+b+c=1时,有 当且仅当 都出自同种类型. 时取等号. 结论3若 ,则有 证明: 当且仅当 时 取等号.