借助几何图形理解高等数学中的抽象概念和结论.pdfVIP

第 30卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．3O，№ ．1 2014年 2月 COLLEGE MATHEMATICS Feb．2014 借助几何图形理解高等数学中的抽象概念和结论 赵小艳 ， 李换琴 (西安交通大学 数学与统计学院，陕西 西安 71oo49) [摘 要]高等数学的很多内容比较抽象，学生不易理解．通过几个例子说明如何将抽象的数学概念和结 论与几何图形有机的结合起来 ，加深对这些概念结论的理解，激发学生的学习兴趣． [关键词]高等数学；极限；微分；凹凸性 [中图分类号]018 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)01—0084—04 当代科学技术的发展对数学知识的需求越来越深 、越来越广 、越来越现代化 ，而高等数学是大学生 进入大学必修的第一门数学基础课 ，它对学生关于数学概念 的理解和对数学思想和所学 内容的可应用 性的掌握以及数学思维的培养起着至关重要 的作用．然而，我国国内的高等数学教材 内容是 比较抽象 的．学生普遍认为 “高等数学是神圣的、高高在上的”，也是 “望而生畏”的，很难主动 的带着兴趣去学习． 因此 ，如何帮助学生直观、形象的理解高等数学 中的概念和结论，是教师在教学中的一个重点和难点．考 虑到几何图形简单直观 ，如果能将高等数学的一些概念和结论与几何图形紧密的结合 ，必有助于加深学 生对抽象数学概念结论的理解 ，激发学生的兴趣．国家教育发展纲要_】中指出：“……(四)探索多样化人 才培养新模式……，探索学生 自主学习模式 ，创新教育教学方法 ，开展启发式、探究式、讨论式、参与式 教学，……”．如果能在教学中让学生主动思考 、动手去做，一方面加深学生对这些概念结论的理解 ，另一 方面，亦可提高学生的计算机能力 ，培养学生的数学思想．本文通过几个具体案例说明这个 问题． 1 用几何图形从两个方面加深对重要极限的理解 在高等数学 中，lim—sln—x一1是很重要的极限，国内教材一般都是直接给出极限值为 1，然后利用 z—-0 x 几何图形通过夹逼准则证明结论成立．大多数学生都能看懂这个证 明过程 ，知道这个极限存在且是 1， 也可能会用这个极限求其它极 限．但是 ，很多学生对此极限理解不深 ，奇怪为什么分子分母极限都是零 时，这个极限还存在?事实上 ，教师在讲解这部分教学 内容时，先让学生画出此 函数的图形，结合极限的 定义观察这个 函数极限是否存在 ，让学生先有一个直观上的认识，然后再证明该结论 ，学生就非常容易 理解 ，也很好记住这个结论．我们运用 matlab软件[3]，画出函数 -厂()一sinx／x的图像如图 1，可以发现 虽然 ．厂(z)在z一0没有定义 ，但是在z一0时， (z．)的极限存在且等于 1，因此我们可 以猜测该函数的 极限为 1，后续的严格证明正好说明了这个结论成立． 教师也可以指引学生这样来理解这个极限：分别画出Y—sinx和Y— 这两个 函数的图形 ，如图 2．从 图中很容易看出，当z逐渐靠近 0时，这两个函数越来越接近．换言之 ，对于值很小很小的 ，函数 一 ：一 一 Y—z可以作为Y= sinx的一个很好的逼近，因此它们的比率 —~51I—I．：L应该逐渐趋于 1． [收稿 日期]2012—07—09 第 1期 赵小艳 ，等 ：借助几何 图形理解高等数学中的抽象概念和结论 85 {1 ／，、 一 八 ＼八一 。 V o ＼√／ 图1 函数 _厂(z)一sinx／x的图形 图2 函数 Y—sinx和Y一37的图