仿射几何的几点应用.pdfVIP

维普资讯 2004年8月 湖北大学成人教育学院学报 Aug．，2004 第22卷 第4期 JournalofAdultEducationCollegeofHubeiUniversity Vo1．22 No．4 仿射几何的几点应用 何作发 (武汉大学医学院职业技术学院，武汉，430060) 作为数学中的一个重要组成部分的几何学．其研究的对象是图形的性质．对于我们熟知的欧氏几何学．要判定某个 命题的结论是否正确。往往要反复应用各类 图形的性质和其它命题的结论以及添加辅助线等．这样证明起来很困难。本 文主要是应用仿射几何学的仿射不变性．由简单的几何命题成立．通过仿射变换后得到复杂的几何命题成立 。 一 、 仿射对应 (变换)的不变性质 1、仿射变换保持一一对应性、同索性、结合性 ． 2、两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线。 3、仿射变换保持简比不变。 4、任意两个三角形面积之 比是仿射对应下的不变量． 推论 ： (1)两个平行四边形面积之比是仿射不变量； (2)两个封 闭图形面积之比是仿射不变量 ； 5、在平面上给定不共线三点ABC及不共线三点ABIC．总存在一仿射变换把ABC分别变到ABC； 6、圆的仿射对应 图形是椭圆。 二、几何命题 1、在平行四边形ABCD中．EF／／AC．则S△EDA=S△FDC。 A D T T一 B F C (1) 证明：由性质1、2、5．得T：(1)一 (1)．(平行四边形ABCD-,-iE方形ABrCD)．在(1)中．EF／／AC ．则EA=FC． 而AD=CD 。所以ED=FD ，从而AEDA △FDC．即S△EDA =S△FD，C．又由性质1得 ：T_。．(1)一 (1)．再 根据性质4得到命题1成立． 2、将平形四边形ABCD各边三等分 (如图)．连EF、FH、HG、GE．则S△AEF=S△FDH=SAHCG=S△GBE A F D T B G C (2) (2) [收稿日期]204一O4—27 [作者简介]何作发(195o一 )．男，武汉人．武汉大学医学院职业技术学院副校长． ·76 · 维普资讯 证明l由性质1、2、3、5得T：(2)一 (2)．因此，在正方形ABCD 中，AE一FD ．AF=DH ， A= D ．．．。AEA F AFDH ，I．．SAEAF=SAFDH ，同理可证：SAFDH=SAHCG=SAGBE ，又由性质 1．得T_。．(2)一 (2)，再根据性质4得到命题2． 3、在任意梯形ABCD中，两底 中点、两对角线交点、两腰延长线 的交点．这 四点共线 (如图) E