三讲§2.1-3.pptVIP

第二章 群 论 §2.1-3群的定义 ;单位元、逆元、消去律 ;有限群的另一定义 说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群） 一、半群 三、群 四、群的各类定义 五、群的名词和符号 §2—3 单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义 一、复习 二、元素的阶 三、有限群的另一定义 练习 例1 乘法群 中， 是单位元，显然 而 同理知 例2 加法群 中， 是单位元， 定义1：设 为群，而 . 如果有整数 ，使 那么使这个等式成立的最小正整数 叫做 的阶，记为 . 如果这样的 不存在，则称 的阶是无限的， ， 记为 * * 定义1. 设 为一非空集合， 上定义了一个封闭的 ”，如果 “ ”满足结合律，即 ，那么代数体系 叫做是一个半群. 注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ 来替代“ （2）在不发生混淆的前提下，半群 可简记为 定义2. 设 是一个半群，那么 如果乘法“ ”满足交换律，则称 为可换半群. 如果 是有限集，则称 为有限半群. 代数运算“ ” ”. “+”和“·”分别是通常的加法和乘法。（但不是 有限半群）同理： 例1、 都是可换半群。 都是半群，并且是可换半群.其中 例2、设 ，而 的集合，通常叫做 的幂集。那么 及 都是有限可换半群。 的全部子集构成 例3． 取 为任一数域， 为 上一切 的集合。若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和 和 均为半群，但 为可换半群，而当 时， 不是可换半群。 表示一切非零矩阵（ 阶）组成的集合，那么 和 都不是半群了（为什么？） 阶方阵组成 乘法，那么 若 中有单位元 二、幺半群 是一个代数体系，如果 中存在一个特殊的元素， 都有 ，那么称 为 的关于 ”的单位元（恒等元）。 ，那么单位元一定是唯一的. 都是 的单位元， 定义4：设 是一个半群，如果 中含有单位元 那么称 为称幺半群 （monoid），通常写为 定义3 具有性质： “ 结论1：若 证明：设 有单位元0；而关于“·”也是monoid，因为1是单 位元。 在例2中， 例4 在例1中， 的单位元是0（零矩阵），而 的单位元为 （单位矩阵）. 的单位元是 的单位元是 思考题：能否举出一个是半群但不是monoid的例子？ 关于“+”都是monoid，因为 在例3中， 定义5：设 是一个幺半群，如果对 ，满足： ，那么称 是 的逆元（正则元）。 在幺半群 中有逆元，那这个逆元 的逆元同意记为 证明：设 都是 的逆元，那么 于是 结论2：若 是唯一的，所以，可以将 中是封闭的（即 “ 说的更具体一点： 定义6：（群的定义）设 是一个幺半群，如果 中每个元素都有逆元，则称 对“ ”来说是一个群应满足 ”在 ”是代数运算） ”满足结合律 (即 是半群) 是一个群。 “ 下列四条： 2.“ 中每个元都有逆元（即 是群） 4. 中有单位元 ，（即 是幺半群） 3. 11、 课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪 些是群？为什么？ 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 （ ） （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群. 2不是群. 因为 解：1是群. 因为 有单位元0（即 0），而 的逆元为 因为 有单位元1，而 0不可能有逆元 同理4，7，10，15，17也不是群，而13中虽然无零， 但除了1外， 中其它元都没有逆元，所以13也不是群。 且 时， 不可逆 19不是群，因为除了 外，其它元都没有 外，其它元都没有逆元. ， 18不是群，因为若 没有逆元. 20不是群，因为除了 逆元. 群，例如什么的1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并统记为0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为 注意：在群 中，通常称“ ”为乘法，因而称群 ，（而不用 ）（譬如群 零元为0，3的负元为-3） 不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ 一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加，更多的表示“抽象加法”的含义。 为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的 中的 ”并不是 一种重要的群：我们应该能回忆得起第4讲中曾出 现过的模 的剩余类集合 为了便于掌握，现令 ，我们期望能使 成为一个群. 第一步：在 中定义代数运算，使其成为一个代数 中规定加法“+”： 其中 事实上，可用运算表来完全刻划“+”，可知“+”是封闭的