三次方程根的个数与参数范围问题的解法.pdfVIP

34 数学通讯——2O14年第7、8期 (上半月) ·辅教导学 · 三次方程根的个数与参数范围问题的解法 郑 金 (辽宁省凌源市职教中心，122500) 对于含有某一参数的三次方程，若 已知方程 程有一个实根 ；当 轴与图象相切时，即其中一个 根的个数，则可确定参数的取值范围；若 已知参数 极值为零，亦即当a一一4或a一0时，方程有两个 的取值范围，则可确定方程根的个数．对这类 问题 实根 ；当 轴位于两个极值之间时，即当～4a 的解答方法很多，下面从两方面以含有参数的三 0时，方程有三个实根． 次方程问题为例进行分析． 2．由方程根的个数求方程中某一实数的取值 1．由方程 中某一实数的取值范围。求方程根 范 围 的个数 (1)通过变换主元求参数的取值范围 对方程所对应的函数求导数 ，由此求 出两个 如果参数在三次方程 中作为 自变量 的系数 ， 极值，利用．轴在两个极值所分成三个 区间中的 则可变换主从关系，即不把 自变量 当作主变元 ， 位置关系和参数 的取值范围求出方程根的个数． 而是把待求系数 当作主变元 ，得出关于参数作为 例 1 设a3，判断方程 z。一甜 +1—0在 自变量的函数，求出参数的取值范围． ’ [O，2]上实根的个数． 例 3 已知关于 的方程X。一ax 一2ax+a。 解 三次 函数 (z)一 。 一 1—0，有且只有一个实数解 ，求实数a的取值范 一 aT．+1的导函数为 ／(z)= 围． 3x 一2ax，由f ()一0得 1一 解 原方程变形为关于a的一元二次方程a o 0，z2一-5-口，由于 口 3，则 z2 一d( +2x)+x。一 1—0，其解为 、) 2，原 函数 的图象大致如图 1所 口 一 百1(z。+2)± 7干 = 丁= 示．可知原 函数在 (O，2)上是减 图1 函数．而 厂()在 X一 0，z一2处连续 ，且 厂(O)= 一 专(z。+2x)±专(z。+2)， 10，厂(2) 9—4口0，所以，()在[O，2]上只 则 ai— x + +1，a2一x一1，即z— a+1 有一个实根． 或 z。+z4-1一a一 0． 例 2 设a∈R，试讨论关于z的三次方程z。 由于原方程只有一个实数解 ，那么方程 z。+z 一 3。一a=0相异实根的个数． + 1一a一0没有实数解 ，则判别式 A一 1—4(1一 解 令 Y—X。一3x。 口) 0． YJl Y =。 ， 一口，则Y = 3x 一6x，可知 ， 一 所以 口 ÷．即实数 口的取值范围是 极值点的横坐标为X 一0， ＼／／ 。一2．画出大致 图象如图 c一 。。， ． … … … … ． ． ／ 2所示．可知极大值为 厂(0)