一些调和映射的积分不等式.pdfVIP

秀 数学物理学报 http：／／actams．wipm．ac．cn 一 些调和映射的积分不等式 周振荣 (华中师范大学数学与统计学学院 武汉 430079) 摘要：该文计算了调和映射的第二基本形式的拉普拉斯，并建立了关于 目标流形为空间形式的 调和映射的积分不等式． 关键词：调和映射；第二基本形式；空间形式． MR(2000)主题分类：58E20 中图分类号：0186．16 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2011)05—1345—08 1 引言 设 (M ，g)和 (N ，h)是两个黎曼流形，乱：M 一Ⅳ 是光滑映射，c(u)= ldl。是 u的能量密度．我们称 u为调和映射，如果它是下面能量泛函的临界点 E(f“) ／，’e(u)dV M JM 例如极小浸入就是调和映射． 我们知道，极小浸入的第二基本形式的拉普拉斯蕴涵许多几何信息．调和映射是极小浸 入的推广，那么，调和映射的第二基本形式的拉普拉斯是否也蕴涵流形的某些几何信息?本 文将计算调和映射的第二基本形式的拉普拉斯，并以此为基础，建立两个关于 目标流形为空 间形式的调和映射的积分不等式． 2 第二基本形式的拉普拉斯 设 ：M 一 Ⅳ 是光滑映射．在 M 上选择局部 幺正标架场 e= {ei，i=1，… ，m)， 其对偶标架场记为 = { )．在 Ⅳ 上选取相应的标架场及对偶标架场，分别记为 e = {e，OL=1，…，竹)和 ={ }．下面我们将采用求和约定，重复的指标表示在其范围内求 和．规定指标的取值范围如下 i，J，···=1，2，… ，m； ， ， … = 1，2，·一，礼 收稿 日期：2009—10—13；修订 日期：2010—11—22 E—mail：zrzhou◎mail．CCYIH．edu．cn 基金项 目：国家 自然科学基金 资助 1346 数 学 物 理 学 报 V0l1．31A 设M 和 Ⅳ的黎曼度量分别为 ds2 ∑ ；ds ∑ 三 记 乱 ∑n f2．21 则有 u*ds=∑n jWiWj (2．3) 的能量密度为 去tr(，“)=丢∑n()。 M 的结构方程为 ∑WijA d =∑ AWkj+2【 其 中Q 1∑RijkZWkA 是 M 的曲率形式，Rijkt是曲率张量，它们满足 Rijkt= 一Rjikl= 一Riflk．Rijkl= Rkuj Rijkz+R~kzj+ Riljk= 0 M 的Ricci曲率张量 Rij和标量曲率 R分别定义如下 R =∑Rikjk，R：=∑Ri