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第十章 曲线积分与曲面积分 复习要点 § 1 对弧长的曲线积分 一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质 1. 定义：( 其中称为被积函数( 称为积分路径( 如果是闭曲线( 那么上述对弧长的曲线积分可记作( 2. 性质( （1） 设、为常数( 则 （2）若积分路径 ( 则 掌握队弧长的曲线积分的计算方法 基本思想：转化为定积分来计算 步骤：1. 将曲线方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数； 2. 利用(将化为曲线方程中自变量的微分； 3. 曲线方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间. 应注意的问题( 定积分的下限(一定要小于上限(( 例如，若曲线方程的方程为：， ( 则 ( 若曲线方程的方程为：， ( 则 ( 若曲线方程的方程为：，， ( 则 § 2 对坐标的曲线积分 一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 定义： ( 称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分. ,称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分. 对坐标的曲线积分的简写形式( 2.对坐标的曲线积分的性质( (1) 若积分路径 ( 则 ( (2) 是有向曲线弧( 设是与方向相反的有向曲线弧( 则 ( 二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法 基本思想：转化为定积分来计算 步骤：1.将曲线方程代入被积函数P(x,y), Q(x,y)使之转化为一元函数； 2. 利用曲线的方程将化为曲线方程中自变量的微分； 3. 起点的坐标为定积分的下限，终点的坐标为定积分的上限（不论大小） 若曲线方程的方程为：，，被积函数P(x,y), Q(x,y) 在光滑有向曲线上的连续( 当参数单调地由(变到(时( 点从曲线的起点沿曲线运动到终点 ( 则 ( ( 即 ( 注意(不一定小于( ( § 3 格林公式及其应用 一、格林公式 设闭区域由分段光滑的曲线围成(函数P(x,y), Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数( 则有 ( 其中是的取正向的边界曲线( 曲线的正向规定如下( 当观察者沿曲线的这个方向行走时( 区域总在他的左边( 应注意的问题( 定理要求( 函数、具有一阶连续偏导数，曲线是区域的取正向的边界曲线， 如果这两个条件之一不能满足( 那么定理的结论不能保证成立( 要求: 会用格林公式计算对坐标的曲线积分. 二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关的概念: 设是一个开区域( 函数、在区域内具有一阶连续偏导数( 如果对于内任意指定的两个点、以及G内从点到点的任意两条曲线、， 恒有 则称 曲线积分在内与路径无关( 否则称该积分与路径有关( 曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分 ( 曲线积分路径无关 三、二元函数的全微分求积 求函数的公式( ( 注： 上述积分与积分路径无关。 § 4 对面积的曲面积分 一、了解对面积的曲面积分的概念与性质 1. 定义： ( 2. 性质( (1)设为常数( 则 ( (2)若曲面 则 ( (3)( （为曲面(的面积(） 二、掌握对面积的曲面积分的计算 基本思想: 化为二重积分(来计算 例如，若曲面(的方程为： ( (在坐标面上的投影区域为， 则 ( § 5 对坐标的曲面积分 一、了解对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 有向曲面 本节我们遇到的曲面都是有向曲面( 例如由方程表示的曲面分为上侧与下侧；由方程表示的曲面分为左侧与右侧；由方程表示的曲面分为前侧与后侧；闭曲面有内侧与外侧之分。 2. 定义： ( 此极限称为函数在有向曲面(上对坐标的曲面积分,其中函数叫做被积函数( (叫做积分曲面( ( 此极限称为函数在有向 曲面(上对坐标的曲面积分( ( 此极限称为函数在有向 曲面(上对坐标的曲面积分( 对坐标的曲面积分的简记形式( ( 3. 性质： (1) 若曲面则 ( (2) 设(是有向曲面( ((表示与(取相反侧