Timoshenko梁点反馈的稳定性.pdfVIP

维普资讯 高校应用数学学报A辑 App1．Math．J．ChineseUniv．Ser．A 2006，21(1)：15-22 Timoshenko梁点反馈的稳定性 章春国 ，赵宏亮 (1．杭州电子科技大学数学系，浙江杭州 310018； 2．东北师范大学数学系，吉林长春 130024) 摘 要：研究Timoshenko梁点反馈的稳定性．用线性算子半群方法证明了闭 环系统的适定性，并应用算子谱特征得到了闭环系统的强渐近稳定性的充分必要 条件．同时，给出了保守系统的几个能观性不等式+ 关键词：点反馈；稳定性；谱特征；能观性不等式 中图分类号 ：O231．4 文献标识码：A 文章编号 ：1000—4424(2006)01～0015—08 §l 引 言 近几年，弹性梁的镇定引起了许多人的关注．当梁的横截面与其长度相比较不能忽略 时，必须考虑旋转惯量的影响；而当剪切力引起的位移也不能忽略时，就要利用更精细的所 谓Timoshenko梁振动模型．[1]研究的是Bernoulli—Euler梁点反馈的稳定性，Bernoulli- Euler梁的点反馈控制 的稳定性等价于具有耗散连接的梁的稳定性 ，在最近的几年里已经 有广泛的研究．[2—4]研究的是Timoshenko梁的内部反馈控制或边界反馈控制的稳定性+ 本文旨在研究Timoshenko梁点反馈的稳定性．更确切地说 ，研究下面 Timoshenko梁方程 的初边值问题的稳定性 ： f“(，￡)一pu”(，￡)+户 (，)+ “f(，￡) 一0， 0 ．27 丌，t 0， 1％(，)一q (，￡)一pu (，￡)+p~o(x，￡)+ (，￡) 一0，0 丌，t0， Iu(O，￡)=uOr，f)一 (o，￡)一 (Tr，￡)=0， t0， I“(z，O)一 “。，“f(，O)一72．。，(，O)= ，仍(，O)= ， 0．27 丌． (1．1) 这里上标 “撇”表示对空间变量 ．27的导数，“(，￡)，(，f)分别表示 t时刻梁在 处的横向位 移与全转角，P，q是正常数， 是集中在固定点 ∈(o，丌)的Dirac质量．为了方便起见，假定 梁的长度为 丌，边界条件的力学意义为梁的两端是简支的． 收稿 日期：2003—02—21 基金项 目；杭州电子科技大学科研基金 ；数学天元基金 维普资讯 16 高校 应 用数 学 学报 A辑 第 21卷第 l期 系统(1．1)在t时刻梁的能量为 E(f)：if-o(pI“7一1+g11+1“1+11)d． (1．2) 本文利用算子半群理论 得到闭环系统 (1．1)的适定性；应用算子谱特征给出闭环系统 (1．1)的强渐近稳定性的充分必要条件；最后给出保守系统的几个能观性不等式． §2 闭环系统的适定性 引入函数空间： H~o(0，7c)XH (O，7c)×L (O，7c)XL (O，7c)， 其中H (O，7c)是一阶Sobolev空间(参见[6])． 由能量二次型诱导的内积和范数为： ((l， ，l，1) ，(“2，他， ，2)) =：： l[户(一仍)(瓦一 )+g +121+5f，。]d， ll(“，，，)ll =l[户I“一 I+qII+II+II。]d． 定义 Y一[z-i(o，丌)NH (o，)NH (，7c)]X [-／／(o，7c)NH (o，)NH (，7c)]× H6(O，7c)×日 (O，7c)． 对于(“，9，，)∈Y，定义y上的范数为