n维空间中的点集.pptVIP

第三节 点集间的距离 Cantor集 1.Cantor集 ⑵Cantor集的性质 c. P没有内点 d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 数的进位制简介 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 e. P的势为 （利用二进制，三进制证明） Cantor函数（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去） Cantor函数 a.在G=[0,1]-P的各构成区间上， Cantor函数在[0,1]上连续 2.填满正方形的曲线 此例引起人们对维数的重新思考(什么叫曲线，曲面)（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数） 3.点集间的距离 定理：设A为非空闭集 ， x∈Rn ，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A) 定理：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d(x,y)=d(A,B) 例：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在δ0，使得当|x| δ时 ，有 证明：由于 F为R1中的有界闭集，G为开集, 故d(F,Gc)0,取δ= d(F,Gc)即可. 定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0≤ f(x)≤ 1， x∈ Rn （2） f(x)=0， x∈ F1; f(x)=1, x∈ F2 * * 第二章 n 维空间中的点集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集 n 2 1 留下的闭区间 去掉的开区间 第n次 ⑴定义：令 称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集 a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集 注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间 b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和 ( ) x-ε x x+ε 第 n+1次等分去掉的区间 第n次等分留下的区间 但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P， 所以x不可能是P的内点。 证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中 从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 证明：对任意x ∈ P ， 只要证： 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中， 第n次等分留下的区间 ( ) x-δ x x+δ 说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数） 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数 证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数， 则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点 的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全 体，作对应 注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点. 说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如 0.1000000… = 0.0222222… （三进制小数） 0.2000000… = 0.1222222… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1/9 1/3 2/3 1 1/2 1/8 1/4 3/8 5/8 7/8 3/4 如此类似取值一直定义下去 c.当 时,规定 称 为[0,1] 上的Cantor函数。 显然在[0,1]上单调不减 b.规定 如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为 注：Cantor函数把长度为零的集合 连续拉长成长度为1的集合 否则，若 在x0∈ (0,1)处不连续， 则开区间 非空， 此区间中的每个数都不属于 的值域， 这与 矛盾. （端点情形类似说明） 注：