Gauss_Seidel迭代法的反方法及其预报_校正系统_李有连.pdfVIP

2008年10月 长治学院学报 ,2008Oct. ,No.5 Gauss-Seidel迭代法的反方法及其预 李有连 （吕梁高等专科学校离石师范分校，山西吕梁 033000） 摘 要：文章利用求解线性方程组的Gauss-Seidel迭代法推导出其“反方法”，正反两种方法相匹配生成预报－校正系 统，给出了它们收敛的条件，并运用这三种不同的公式求解实例，根据其结果，说明这些公式的优缺点。 关键词：Gauss-Seidel迭代法；范数；谱半径 中图分类号：O152.1文献标识码：A 文章编号：1673-2014（2008）05-0009-04 （k） （0） 在科学计算与工程计算中，常会遇到求解线性方程组的 =Gx +d 对于任意初值x 均收敛. 问题，而求解线性方程组，主要有直接解法和迭代解法。对于 定理3 迭代过程A 对任给初始向量A 和||A ||收敛的 系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组，可以用直接法进行 充分必要条件是ρ （G）＜1（且当ρ （G）＜1时，ρ （G）越小，收敛 消元，但对于大型稀疏线性方程组，主要采取迭代解法，在迭 速度越快）。 代解法中有一些经典的解法，如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel2 迭代公式的建立 迭代法、SOR迭代法和AOR方法等[1].文献[2,3]主要考虑了迭代法是解线性方程组的一个重要的实用方法。迭代法 Gauss-Seidel迭代法的收敛速度，为了改善它的收敛性和收的设计机理是：将方程组A 的系数矩阵A=M+N 分裂为M 的 敛速度，本文主要讨论Gauss-Seidel迭代法的反方法以及由形式，其中一个分裂阵M 比较容易求逆。这样，据所给方程 正反两种方法相匹配生成的预报－校正系统，并通过实例说 组Mx=-Nx+b 可建立起迭代公式 （k+1） （k） 明Gauss-Seidel迭代法的预报－校正系统比Gauss-Seidel迭Mx =-Nx +b 代法的收敛速度快。 设计迭代法的关键在于选取合适的分裂矩阵M 。设令 1 预备知识 A=D+L+U，其中D 为对角阵，L 和U 则分别为严格下三角阵 为了运用的方便，首先给出下面一些定义和定理，参看 与严格上三角阵。如果取对角阵D 作为M ，则所设计出的迭 文献[4，5]. 代方法就是雅可比 定义1 称n阶方阵A=（a ） 是对角占优的，如果其 的基础上主要介绍其“反方法”与预报－校正系统。 ij n ×n 主对角线元素的绝对值大于同行其他元素绝对值之和，即 2.1 Gauss-Seidel迭代法 n 如果取下三角阵D+L 作为分裂阵M ，即施行矩阵分裂 Σ aij ＜ aij . （i=1，2，…n） j = 1 A=（D+L）+U，这样设计出的迭代方法则是高斯-塞德尔 j ≠ 1 （Gauss-Seidel）方法。 定义2 系数矩阵为对角占优阵的线性方程组称作对