C^n中一类星形映射子族的增长定理及推广的Roper-Suffridge算子.pdfVIP

数 学 年 刊 2013，34A(2)：223—234 Cn中一类星 形 映射子 族 的增长 定理 及推 广 的 Roper-Suffridge算 子术 王建 飞 提要 在有界星形圆形域上定义了一个新的星形映射子族，它包含了 阶星形映射族和 。阶强星形映 射族作为两个特殊子类．给出了此类星形映射子族的增长定理和掩盖定理．另外，还证明了Reinhardt 域 Q ，…，p 上此星形映射子族在 Roper—Suffridge算子 )=(／(zi)，( )( 。…，( )( ))1) 作用下保持不变，其中Q ，p2，一，p = zEC ：lZll。+I2lP2+…+lznJpn1)，Pj≥1， E0【，1]， E[0，去]满足 + ≤1，所取的单值解析分支使得( )Izl：0：1，(，(1))Iz=o：1， J=2，… ，n．这些结果不仅包含了许多已有的结果，而且得到了新的结论． 关键词 增长定理，星形映射， a阶星形映射，有界星形圆形域，推广的 Roper—Suffridge 算子 MR (2000)主题分类 32H02，32A30 中囝法分类 O174．56 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2013)02—0223—12 1 引 言 在单复变中，单位圆盘上的单叶函数理论是几何函数论的一个重要组成部分．在单 叶函数的许多优美性质中，如下的增长和掩盖定理是众所周知的． 定理 1．11【]如果_，是单位圆盘 D上的单叶函数，且 f(O)=0，，(0)=1，那么 ≤If( ≤ ，VzED． 特别地，上述不等式的左边给出了掩盖定理 f(D) {D． 然而，在多复变量的情形中，有许多反例表明如果不对双全纯映射的一些子类加以 限制，那么其增长定理将不再成立．例如 ，()=(，_=兰 )，尼∈N 易知 f(0)=0而且 Js(0)= ／2，其中Js(0)是 ．厂在原点的Jacobi矩阵， 是 2阶单位方 阵．但全纯映射 ．厂的模是无界的，其增长定理也就不成立．因此要想得到高维的增长定 理，Cartan建议研究多复变数双全纯映射的子族，如凸映射、星形映射以及其它的双全 纯映射子族． 本文 2012年 3月 13日收到，2012年 8月2 日收到修改稿． 浙江师范大学数学系，浙江 金华 321004．E—mail：州fustc~zjnu．crl 本文受到国家 自然科学基金 (NoNo 和浙江省 自然科学基金 (No．Y6090694 No．Y6110260，No．Y6110053)的资助． 数 学 年 刊 34卷 A辑 Barnard，FitzGerald和龚升 [0]给出了 中单位球 上星形映射的增长定理，这 是星形映射增长定理的首个肯定结果．此后，龚升、王世坤和余其煌在文 [3】中得到了有 界凸Reinhardt域 B 上星形映射的增长定理，推广了单位球上的结果． 1998年，刘太 顺和任广斌在文 f4]中给出了c 中一般有界星形圆型域上星形映射的增长定理． 2000 年，刘浩和卢克平在文 f5]中定义了有界星形圆型域上 阶星形映射并给出了其增长定 理．有关星形映射子类更多的工作可参考文 [67】． 在本文中，我们引入了有界星形圆型域上一类新的星形映射子族，该子类用统一的 方法包含了许多星形映射的子族．一方面，我们给出了此类星形映射子族的增长和掩盖 定理．另一方面，我们也证 明了 Reinhardt域上此类星形映射在广义的 Roper—Suffridge 算子作用下保持不变．因此通过 Roper—Suffridge算子，我们很容易构造出Reinhardt域 上此类新的星形映射． 以下，我们给出一些文中所需记号．用D表示复平面 c的开单位圆盘．c 表示由 n维复向量 z=(Zl，… ， )组成的空间，具有欧氏内