四章 随机变量的数字特征.pptVIP

* * * * * * 方差即“差”的“方” * * * * * * * * * * * * * * * * * （DX0） —— Y 为 X 的标准化. EY=0, D(Y)=1. 随机变量的标准化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 或 则对任意正数ε，有切比雪夫不等式： 四 切比雪夫（Chebyshev ）不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注1：关于切比雪夫不等式 1、切比雪夫不等式表明，当方差D(X)越小时，事件{|X-E(X) | }的概率就越接近于1，说明方差越小，X的值密集在其期望的概率就越大，理论上说明方差是描述随机变量取值偏离其期望分散程度的一个量。 2、不等式成立并不需要知道X的分布，只知道期望、方差存在，就可估计X落在期望值附近的概率。 3、是大数定理的基础. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注2 利用切比雪夫不等式可以估计事件的概率. 例2 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习 1/9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习 1/3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 原点矩与中心矩 二 协方差 三 相关系数 第三节 矩、协方差与相关系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k 阶（原点）矩：?k = E(Xk) ， k = 1, 2, …. 特别地，1阶原点矩就是期望： ?1 = EX. k 阶中心矩：?k = E[X?EX]k ， k = 2, 3, …. 特别地，2阶中心矩就是方差：?2 = DX. 定义1 一 原点矩与中心矩 kth raw moment kth central moment 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 称 为 X 与 Y 的协方差. 注1 Cov(X, X)= DX . 注3 D(X?Y) = DX+ DY ? 2 Cov(X, Y) . Cov(X, Y) = E[(X?EX)(Y?EY)] 注2 Cov(X, Y)= EXY ? EX EY. 二 协方差 Covariance 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质1 Cov(X, Y) = Cov(Y, X). 性质4 Cov(aX+b, cY+d) = abCov(X, Y) . 性质2 Cov(X, a) = 0. 性质3 Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). 协方差的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3 称 为 X 与 Y 的相关系数. 注 若记 则 三 相关系数 Correlation coefficient 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 设 (X, Y) 的联合分 X ?1 0 1 Y ?1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求 X, Y 的相关系数. 解 = 0 同理 = 3/4 E(Y) = E(X) = 0 另一方面 = 0 所以 Cov(X, Y) 从而 E(Y2) = E(X2) = 3/4 = E(XY)?E(X)E(Y) = 0 布律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2 求 X, Y 的相关系数. 解 = 7/6 = 5/3 所以, D(X) = D(Y) = 11/36 = 4/3 设 (X, Y) ~ f (x, y) = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 设 证明 X 和 Y 的相关系数为?. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质1 性质2 ? P(Y=aX+b)=1 存在常数 使 相关系数的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （即当 时，随机点(X,Y)几乎处处位于一条直线Y=aX+b上；反之，当X与Y存在线性关系Y=aX+b时， 的大小反映了