ch3-2函数单调性与曲线的凹凸性.pptVIP

3.2 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 一、函数的单调性 2. 单调区间的求法 小结 2. 证明 * 3．1 微分中值定理 3．2 函数单调性与曲线的凹凸性 3．3 函数的极值与最值 3．4 函数图形的描绘 3．5 洛必达法则 3．6 泰勒（Taylor)公式 定理1（函数单调性判别法） 1. 函数单调性的判别法 例1 讨论函数 y = x - sinx 的单调性. 解 注:区间内个别点导数为零或不存在 , 不影响该区间内的单调性. 例2 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 几何上看：单调区间的分界点是使f ?(x)=0的点. 问题:如例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 讨论函数的单调性可以按以下步骤进行： 1）确定函数 f (x)的定义域； 2）求 f ?(x)，找出 f ?(x)=0和 f ?(x)不存在的点， 以这些点为分界点，把定义域分成若干区间； 3）在各个区间上判别 f ?(x)的符号，以此确定 f (x)的单调性. 例3 解 例4 解 例5 证 3. 利用单调性证明不等式 当 时，试证 例6 证明当x0时， 证： 例7 例8 例9 例10 证明方程 有且仅有一个实根. 证明： 二、曲线的凹凸性 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 拐点 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 1.曲线凹凸与拐点的定义 定义1 2. 曲线凹凸的判定 定理2（曲线凹凸性判别法） 例8 解 注意(１)． 由拐点的定义及定理２, 可得拐点的判别法如下 (2)区间内个别点二阶导数为零或不存在, 　不影响该曲线的凹凸性. 方法1: 拐点的求法 例９ 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 3) 列表判别 解 例10 求 　的凹凸区间及其拐点. 方法2: 例18 解 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点 思考与练习 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 2. 设 是方程 的一个解, 若 且 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 还是极小. 3. 求出该极值, 并指出它是极大 试求 4. 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 还是极小. 解: 由题意应有 又 取得极大值为 3. 求出该极值, 并指出它是极大 试求 解: 4. 故所求最大值为 思考