2012年暑期强化视频班高数讲义-赵达夫.pdfVIP

高等数学讲义 赵达夫 1 一 函数、极限与连续 （一） 本章的重点内容与常见的典型题型 １．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件， 又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2 ） 利用两个重要极限，两个重要极限即 n x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 lim 1+ lim 1=+ lim 1=+x x e, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) n→∞⎝ n ⎠ x→∞⎝ x ⎠ x→0 sin x lim 1; x →0 x （3 ） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4 ） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5 ） 利用夹逼定理； （6 ） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则）， 再利用关系式求出极限； （7 ） 利用定积分求某些和式的极限； （8 ） 利用导数的定义； （9 ） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。 这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计 算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还 要具体问题具体分析，方法要灵活运用。 ２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数 的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。 ３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。 2 通过历年试题归类分析，本章的常见题型有： １．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数； ２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型； ３．无穷小的比较； ４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根； ５．求分段函数的复合函数。 3 （二） 知识网络图 “ε－Ｎ”定义 极限概念 “ε－Ｘ”定义 “ε－δ”定义 唯一性 数列整体有界 极限性质 有界性 函数局部有界 保号性 夹逼定理 １极限存在准则 单调有界数列有极限 n ⎛ 1 ⎞ li m ⎜1 + ⎟ e 极限 n → ∞ ⎝ n ⎠