数学探究教学-师生部落格-国立彰化师范大学.DOC

數學探究 林勇吉 b8524039@ 數學探究可簡單解釋為「問題－過程－解答」的整體程序。換言之，它是發現問題、思考問題與解決問題的過程。Romberg和Kaput（1999）認為數學應被視為人類的活動（human activity），反映出數學家的工作的性質，而這個性質是經由探究學習知道為何所提供的方法能夠運作、發現新的方法，證明主張等Chazan和Gordon（1990）模糊（ambiguity）與衝突（conflict）引起學生思考「為何錯」與「該如何修正」等問題探索例如非歐幾何（計程車幾何）（Krause, 1986），討論方格紙上畫「圓」數學探究環教學範例，「計程車幾何」主題：介紹非歐幾何 探究活動：「計程車幾何」。假設計程車在一個規則的城市中行駛（方格），他只能水平和鉛直移動，如下圖，那麼歐氏幾何是否還依然存在？ 教學內容 1.準備聚焦 與同學討論過去學習過的幾何概念： 如說明在生活中使用幾何的例子；定義；公式等。 閱讀關於歐氏幾何與非歐幾何的文本，請同學發表與書寫心得。 實施「計程車幾何」活動： 學生甲：這不特別阿－這是普通的幾何…只是老遊戲加上新規則。 教師在黑板寫下：這只是新規則或是整個新遊戲？ 學生乙：你甚至不能在上面畫圓（為了證明這是新的幾何）！ 這兩種爭議性的主張，引起全班討論，教師因此決定，讓全班同學探究在計程車幾何中，圓是否存在。 2.執行 學生開始探索在計程車幾何中，「圓」是否存在。 學生開始在方格紙中，畫出他們認為的圓。 這些圖會展示給其他學生，用來支持自己的臆測，並且接受批判。 有些學生認為格子很小的時候，就會有一般的圓產生。 教師：什麼是圓？ 學生閱讀教科書，探討圓的定義與計程車幾何中的限制。 經討論後，確定計程車幾何中的圓與歐氏幾何的圓不一致。 3.綜合與溝通 教師尋求機會，幫助學生總結計程車幾何的探究。 再度閱讀文本，藉由學生討論與溝通想法的過程，幫助學生整合探究的結論。 各個學生使用圖形和模型去支持他們的想法。 4.評估與延伸 教師帶領大家結束這個探究，並且確認一些觀念和取向，可在未來的探究實施 教師整合學生的探究經驗，並讓學生反思這些經驗。 教師評量學生的探究表現。 「論證」則是比「探究」更高層次，除了必須報導解題策略、提出思考上的解釋外，還必須挑戰答案的有效性，或是挑戰某人的推理，也可以說是非形式的證明，學生必須回應他人的挑戰然而Wood, WilliamsMcNeal（2006）也強調「探究」Whitin（2006）認為數學探究教學，是指使用學生的「觀察」和「問題」當作跳板，做為提供在適當學科內容內進行探究的機會，例如當學生知道6+4=10，那麼可以進一步詢問有哪些三個數相加，也可以得到同樣的結果（如2+4+4；3+4+3）更進一步，Whitin使用題（problem posing）做為數學探究的工具這意味找出（identifying）給定問題的特性（attribute），之後改變一個或幾個特性，創造新的問題，這個過程與上述例子相同。Whitin使用題策略的原因，是因為題其實融入一些數學探究重要元素於其中，包括：細心觀察、使用多樣的觀點、產生問題、提供臆測、設計與執行計畫、反思這個結果。 National Council of Teachers of Mathematics（1989）認為解題就是「探究」與「應用」（application）的方法： 數學課程必須包含多樣的「探究」和「應用」的經驗，這個探究與應用是以解題做為手段，如此，學生能夠：1.使用解題取向去探索（investigate）和瞭解數學主題；2.由數學內與數學外的情境，型塑問題；3.發展和應用多樣的策略去解決問題，注重多重的步驟和非例行之問題；4.生成解答和策略致新的問題情境；5.在有意義的使用數學中，獲得自信（p. 75）。 American Association for the Advancement of Science [AAAS]（1993）認為的數學探究，就像是數學家在做數學所進行的工作，數學可以被描述為一個探索的循環（a cycle of investigation），透過這個發展數學觀念（mathematical ideas）的有效性。並且，它進一步提出數學探究的循環（cycle），分別是：「表徵」（representation）、「操弄」（manipulation）與「驗證」（validation）。「表徵」意謂使用符號或算式來表徵真實，對學生而言，使用「設A代表這個房間的面積」，比使用「設Y等於任意長方形的面積」來的容易理解，在這個過程，學生最主要目標是能理解用符號來表徵抽象，並且應用來解題。關於「操弄」，有兩件