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扬州中学高二年级质量检测 数 学 试 卷 注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案全部写在答题纸上. 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． 已知复数（是虚数单位），则= ___． 2．观察式子，，，则可以归纳出 ___． 3． 用数学归纳法证明 时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是 ． 4．若，则的值为 ． 5．若，则最大值为 ． 6．四面体 中，， ． 7．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 ． 8．若 ,则 ． 9．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为 ． 10. 把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下面），则第个三角形数是 ． 11. 已知两点,,点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 12. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 ． 13. 如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设的面积分别为，且到与的距离之比为， 则的面积与的关系是 . 14.设为复数集的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集.下列命题：①集合S＝＋为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）取何值时，复数（其中是虚数单位）． （1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零. 16．如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上. 且，若二面角的余弦值为，求实数的值. 17．w*w^w.ks#5@u.c~o*m用数学归纳法证明：．已知的展开式中项的系数的系数． 求的值；求展开式中的项． 的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。 （1）证明：面面； （2）求与所成的角； （3）求面与面所成二面角的余弦值． 20.由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明． 答 案 1. 2. 3. 4. 5.2 6. 7. 8. 7 9.10 10. 11. 12. 336 13. 14. 1,2 15. 解：（1）；（2）（3） 16. 2．为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，，，；，，，，， 设平面法向量为，而，， 所以，可得一个法向量=， 设面的一个法向量为， 则， 即，又因为点在棱上，所以. 17. 证明：当时，左边，右边左边，∴等式成立设当时，等式成立， 即则当时， 左边 ∴ 时，等式成立． 由可知，原等式对于任意成立．解：由题设得， （2） 当即当时为常数项 19. 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 . （1）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面. （2）解：因 （3）解：平面的一个法向量设为， 平面的一个法向量设为， 所求二面角的余弦值为 20. 解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为： ． 用数学归纳法证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立． 高二数学 第 1 页 图二 第7题图 图一