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· 辅教导学 · 数学通讯一一 2O15年第 1、2期(上半月) 43
1 COSasin2ac6s口
… … … ‘
tan 一 3 ta 一 3tana
3 一 sinasin 2asina
a
tan3a tan 3a一 3tan口
u
tan a = 一 ÷cot。口0，
1 3sin3acos口一 sint~COS3a
所以：对任何 a，不等式 ≤ —tan—3a≤ 3总不
3 3sinacos3a— sin 3acosa
6 tan 口
1 2sin3acosa+ sin2a
成立．
3 2sinaCOS3a-——sin 2a
1 COS口(sin3a+ sin口)
(收稿 日期 ：2014— 10—10)
与三角形中线相关的两个结论及应用
杨先进
(湖北省宜 昌市夷 陵中学 ，443000)
命题 1 在三角形ABC中，D为BC的中点， 波罗尼奥斯定理)，由于高中更多的问题是在三角
则 AD2一DB2一 ． ． 形中，故它有更多的应用 ，下面例举近年的模拟题
证 明 如图1，在三 和高考题 ，来看看这两条性质在处理众多问题时
角形 ABC中，D为DC的 独特的作用 !
中点， 一 +商 ， 例 1 (2013年湖北部分重点中学联考第 14
一 十 一 一 C 题)正方体ABCD—A1B．GD。的棱长为2，MN是它
D
亩 ，所以 ． 一 z 的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段
图 1
一 亩 2一AD2一DB2． 称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN最
命题 2 在三角形ABC中，D为BC的中点， 长时，丽 ·雨 的取值范围是 ．
AD。+DB。=妻(AB +AC。)． 解析 弦MN 的弦最长时显然为球 的直径，
故 MN 的中点为球心o，由性质 1，
证 明 在三角形ADB和三角形ADC中，由 P丽 ·P — P0 一oN 一 P00— 1．
余弦定理 ， 即问题转化为正方体表面上的动点到球心的
c。s／ADB 一 ① 距离的最值 ，显然 PO的最大值
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