【数学】1.2 应用举例 课件1(人教A版必修5).ppt

理论迁移 例 在A处有一条小船，在点A的北偏东30°方向有一个小岛B，这附近海域内有北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h的潮流.已知小船的航速是10 nmile/h，若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？ C A B 东 北 北偏东 18.46° 总结 1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计算. 2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路. 3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想处理. 问题提出 1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据. 2.以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究. 探究（一）：三角形面积的计算 思考1：在△ABC中，若B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的面积？ 三角形中的三角变换 思考2：在△ABC中，若a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的面积？ 思考3：能否用三角形的三边长为a，b，c表示三角形的面积S？ 探究（二）：三角形内角的计算 思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8，则角B的值为多少？ 60° 思考2：在△ABC中，若 ，则角A的值为多少？ 120° 思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状如何？ 探究（三）：三角形形状的确定 等腰三角形 思考2：在△ABC中，若B=60°，且b2=ac，则△ABC的形状如何？ 正三角形 思考3：在△ABC中，若 ，则△ABC的形状如何？ 等腰三角形或直角三角形 探究（四）：三角恒等式证明 思考1：在△ABC中，如何证明 ？ 思考2：在△ABC中，如何证明 * * 1.2 应用举例 第一章 解三角形 问题提出 1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？ 2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？ 正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与夹角或三边. 3.在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长.对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行计算？ 构造三角形 4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析. 距离测量问题 探究（一）：一个不可到达点的距离测量 思考1：如图，设A、B两点在河的两岸， 测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边选定一点C，若测出A、C的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B两点的距离？ C A B 思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否有影响？ C A B 思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？ C A B 选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小 →利用正弦定理求AB的距离. 思考4：根据上述测量方案设置相关数据，计算A、B两点的距离公式是什么？ C A B 设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β. 探究（二）：两个不可到达点的距离测量 思考1：如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝ ，你能求出CD边的长吗？ A B C D 30° 45° 45° 75° 思考2：设A、B两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算A、B两点间的距离吗？ C D A B 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB. 思考3：在上述测量方案中，设CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC和BC的计算公式是什么？ C D A B 思考4：测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？ 理论迁移 例 某观测站C在城A的南偏西20°方向，由城A出发的一条公路沿南偏东40°方向笔直延伸.在C处测得公路上B处有一人与观测站C相距31km，此人沿公路走了20km后到达D处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还要走多远才能到达A城？ A C B D 东 北 15 问题提